En matemáticas, concretamente en álgebra abstracta y teoría de módulos, un módulo semisimple o módulo completamente reducible es un tipo de módulo que se expresa como suma directa de submódulos simples. Los anillos que son módulos semisimples sobre sí mismos se llaman anillos semisimples, y su estructura queda determinada por el Teorema de Artin-Wedderburn, que los caracteriza como isomorfos a un producto directo de anillos de matrices sobre anillos de división.
Definición
Un módulo sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) se dice semisimple (o completamente reducible) cuando es una suma directa de submódulos simples.
Caracterización
Para un módulo cualquiera 
, equivalen:
- es semisimple, suma directa de módulos simples.
- es la suma directa de sus submódulos simples.
- Cada submódulo de es un sumando directo; es decir, para cada submódulo
de , existe un complemento 
tal que 
.
Propiedades
- Si es semisimple y es un submódulo, entonces y
son también semisimples.
- Si cada
es un módulo semisimple, también lo es 
.
- Un módulo es finitamente generado y semisimple si y sólo si es artiniano y su radical es cero.
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Ch. 8 (2nd edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-35315-7 .
- Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2nd edición), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5 .
- Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439 .
- Lang, Serge (2002), Algebra (3rd edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0387953854 .
- R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
