Integración de Lebesgue–Stieltjes

En el análisis de la teoría de medidas y otras ramas relacionadas de la matemática, la Integración de Lebesgue–Stieltjes es una generalización de la integral de Riemann-Stieltjes y la integración de Lebesgue, preservando las muchas ventajas de ambas en un marco más general de teoría de medidas. La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral ordinaria de Lebesgue respecto a una medida conocida como la medida de Lebesgue–Stieltjes, que puede estar asociada a cualquier función de variación finita en la línea real. La medida de Lebesgue-Stieltjes es una medida regular de Borel, y de manera opuesta toda medida regular de Borel en la línea real es de este tipo.

Las integrales de Lebesgue–Stieltjes, nombradas así por Henri Leon Lebesgue y Thomas Joannes Stieltjes, son también conocidas como las integrales de Lebesgue–Radon o simplemente integrales de Radon, debido a Johann Radon, a quien se debe mucha de la teoría. Ellos encontraron aplicaciones en común entre las probabilidades y los procesos estocásticos, y en ciertas ramas del análisis matemático incluyendo la teoría del potencial.

Definición

La integral de Lebesgue–Stieltjes: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$ es definida cuando ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ es Borel-medible y finita y ${\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }$ es de variación finita en ${\displaystyle [a,b]}$ y continua por la derecha, o cuando ${\displaystyle f}$ es no negativa y ${\displaystyle g}$ es monótona y continua por la derecha. Para empezar, se asume que ${\displaystyle f}$ es no negativa y que ${\displaystyle g}$ es monótona no decreciente y continua por la derecha. Se define ${\displaystyle w[(s,t]):=g(t)-g(s)}$ y ${\displaystyle w(\{a\}):=0}$ (alternativamente, la construcción funciona para ${\displaystyle g}$ continua por la izquierda, ${\displaystyle w([s,t)):=w(t)-w(s)}$ y ${\displaystyle w(\{b\}):=0}$).

Por el Teorema de Carathéodory, existe una única medida de Borel ${\displaystyle \mu _{g}}$ en ${\displaystyle [a,b]}$ que concuerde con ${\displaystyle w}$ en cada intervalo ${\displaystyle I}$. La medida ${\displaystyle \mu _{g}}$ surge de una medida exterior (de hecho, una medida exterior métrica) dada por

${\displaystyle \mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\right\vert \left.E\subset \bigcup _{i}I_{i}\right\}}$

el ínfimo entre todas las coberturas de E por los distintos intervalos semiabiertos. Esta medida es llamada comúnmente como[1]​ la medida Lebesgue–Stieltjes asociada a g.

La integral de Lebesgue–Stieltjes

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

puede ser definida como la integral de Lebesgue de ƒ con respecto a la medida μ_g en la manera usual. Si g es no decreciente, entonces se define

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),}$

siendo la última integral definida por la construcción precedente.

Si g es de variación finita y ƒ es finita, entonces es posible plantear

${\displaystyle dg(x)=dg_{1}(x)-dg_{2}(x)}$

donde g₁(x) := Vx
ag es la variación total deg en el intervalo [a,x], y g₂(x) = g₁(x) − g(x). Tanto g₁ como g₂ son monótonas no decrecientes. Ahora la integral de Lebesgue–Stieltjes con respecto a g es definida por

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),}$

donde las dos últimas integrales están bien definidas dada la construcción precedente.

Integral de Daniell

Una aproximación alternativa (Hewitt y Stromberg, 1965) es definir la integral de Lebesgue–Stieltjes como la integral de Daniell que extiende la integral usual de Riemann–Stieltjes. Sea g una función no ascendente continua por la derecha en [a,b], y I(ƒ) la integral de Riemann–Stieltjes

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

para toda función continua ƒ. La operación I define una medida de Radon sobre [a,b]. Esta operación puede ser extendida a la clase de todas las funciones no negativas definiendo

${\displaystyle {\overline {I}}(h)=\sup\{I(f)|f\in C[a,b],0\leq f\leq h\}}$

y

${\displaystyle {\overline {\overline {I}}}(h)=\inf\{I(f)|f\in C[a,b],h\leq f\}.}$

Para funciones medibles por Borel, se tiene

${\displaystyle {\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),}$

y ambos lados de la identidad definen la integral de Lebesgue–Stieltjes

de h. La medida externa μ_g es definida a partir de

${\displaystyle \mu _{g}(A)={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})}$

donde χ_A es la función característica de A.

Integradores de variación finita son manejados de igual forma a la anterior, descomponiendo en variaciones positivas y negativas.

Ejemplo

Suponga que ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ es una curva corregible en el plano y ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{2}\to [0,\infty )}$ es Borel-medible. Entonces se puede definir la longitud de ${\displaystyle \gamma }$ con respecto a la métrica euclidiana medida por ${\displaystyle \rho }$ como ${\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t)}$, donde ${\displaystyle \ell (t)}$ es la longitud de la restricción de ${\displaystyle \gamma }$ para ${\displaystyle [a,t]}$. Esta es comúnmente llamada la ${\displaystyle \rho }$-medida de ${\displaystyle \gamma }$. Esta noción es bastante útil para varias aplicaciones: por ejemplo, en terrenos lodosos la velocidad en que una persona se puede mover depende de la profundidad del lodo. Si ${\displaystyle \rho (z)}$ denota la inversa de la velocidad en o cerca de ${\displaystyle z}$, entonces la ${\displaystyle \rho }$-longitud de ${\displaystyle \gamma }$ es el tiempo que tomaría cruzar ${\displaystyle \gamma }$. El concepto de longitud extrema usa esta noción de ${\displaystyle \rho }$-longitud de curvas y es útil en el análisis de transformaciones conformes.

Integración por partes

Una función ${\displaystyle f}$ se considera "regular" en un punto ${\displaystyle a}$ si existen los límites derecho ${\displaystyle f(a+)}$ e izquierdo ${\displaystyle f(a-)}$, y la función toma el valor promedio, :${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2}}\left(f(a-)+f(a+)\right),}$ en el punto límite. Dada las funciones ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ de variación finita, si en cada punto ${\displaystyle U}$ o ${\displaystyle V}$ es continua, si ambas ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ son regulares, entonces existe una fórmula de integración por partes para la integral de Lebesgue–Stieltjes:

${\displaystyle \int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),}$ donde ${\displaystyle b>a}$. Bajo una pequeña generalización de esta fórmula, las condiciones extras en ${\displaystyle U}$ t ${\displaystyle V}$ pueden ser eliminadas.[2]​

Un resultado alternativo, de significativa importancia en la teoría del cálculo estocástico es el siguiente: dadas dos funciones

${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ de variación finita, donde ambas son continuas por la derecha y tienen límite izquierdo (son funciones 'cadlag') entonces

${\displaystyle U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},}$

donde${\displaystyle \Delta U_{t}=U(t)-U(t-)}$. Este resultado puede ser visto como un precursor del Lema de Itō, y es de uso en la teoría general de integración estocástica. El término final es ${\displaystyle \Delta U(t)\Delta V(t)=d[U,V]}$, que surge de una covarianza cuadrada de ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$. (El resultado anterior puede ser visto entonces como un resultado relativo a la integral de Stratonovich.)

Conceptos relacionados

Integración de Lebesgue

Cuando g(x) = x para todo número real x, entonces μ_g es la medida de Lebesgue, y la integral de Lebesgue–Stieltjes de f con respecto a g es equivalente a la integral de Lebesgue de f.

Integración de Riemann–Stieltjes y teoría de probabilidades

Cuando f es una función continua con valores reales de una variable real, y v es una función real no decreciente, la integral de Lebesgue–Stieltjes es equivalente a la integral de Riemann-Stieltjes, en cuyo caso usualmente se escribe

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dv(x)}$

para la integral de Lebesgue–Stieltjes, manteniendo implícita la medida μ_v. Esto es particularmente común en la teoría de la probabilidad cuando v es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X, en cuyo caso

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)].}$

(Ver el artículo integral de Riemann-Stieltjes para mayor información acerca del tratamiento de estos detalles.)

Notas

1. Halmos (1974), Sec. 15
2. Hewitt, Edwin (5 de 1960). «Integration by Parts for Stieltjes Integrals». The American Mathematical Monthly (en inglés) 67 (5): 419-423. JSTOR 2309287. doi:10.2307/2309287. 

Referencias

• Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory (en inglés), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9 .
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis (en inglés), Springer-Verlag ..
• Saks, Stanislaw (1937). Theory of the Integral (en inglés). 
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.

• Datos: Q3799278