Fórmula de Hadjicostas

En matemáticas, la fórmula de Hadjicostas es una fórmula que relaciona una cierta integral doble con valores de la función gamma y la función zeta de Riemann. Es llamada en honor a Petros Hadjicostas.

Enunciado

Sea s un número complejo con s ≠ -1 y Re(s) > −2. Entonces

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{1-xy}}(-\log(xy))^{s}\,dx\,dy=\Gamma (s+2)\left(\zeta (s+2)-{\frac {1}{s+1}}\right).}$

Aquí Γ es la función Gamma y ζ es la función zeta de Riemann.

Antecedentes

La primera instancia de la fórmula fue demostrada y usada por Frits Beukers en su artículo de 1978 paper dando una demostración alternativa al teorema de Apéry.[1]​ Él demostró la fórmula cuando s = 0, y demostró una formulación equivalente para el caso s = 1. Esto permitió a Petros Hadjicostas conjeturar la fórmula descrita arriba en 2004,[2]​ y en una semana había sido demostrada por Robin Chapman.[3]​ Él demostró que la fórmula se cumple cuando Re(s) > −1, y entonces se puede extender ese resultado por extensión analítica para llegar al resultado completo.

Casos especiales

Así como en los dos casos en lo que Beukers obtiene expresiones alternativas para ζ(2) y ζ(3), la fórmula puede usarse para expresar la constante de Euler–Mascheroni como una integral doble haciendo tender s a −1:

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{(1-xy)(-\log(xy))}}\,dx\,dy.}$

Esta última fórmula fue descubierta primero por Jonathan Sondow[4]​ y es la referida en el título del artículo de Hadjicostas.

Referencias

1. Beukers, F. (1979). «A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3)». Bull. London Math. Soc. 11 (3): 268-272. doi:10.1112/blms/11.3.268. 
2. Hadjicostas, P. (2004). «A conjecture-generalization of Sondow’s formula». arXiv:math.NT/0405423. 
3. Chapman, R. (2004). «A proof of Hadjicostas’s conjecture». arXiv:math/0405478. 
4. Sondow, J. (2003). «Criteria for irrationality of Euler's constant». Proc. Amer. Math. Soc. 131: 3335-3344. doi:10.1090/S0002-9939-03-07081-3. 

Artículos

• Hessami Pilehrood, Kh.; Hessami Pilehrood, T. (2008). «Vacca-type series for values of the generalized-Euler-constant function and its derivative». arXiv:0808.0410. 

• Sondow, J (2005). «Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula». American Mathematical Monthly 112: 61-65. arXiv:math.CA/0211148. doi:10.2307/30037385. 
• Sondow, Jonathan; Hadjicostas, Petros (2008). «The generalized-Euler-constant function γ(z) and a generalization of Somos's quadratic recurrence constant». Journal of Mathematical Analysis and Applications 332: 292-314. arXiv:math/0610499. doi:10.1016/j.jmaa.2006.09.081.