Fórmulas de Mollweide

Un triángulo. Los ángulos α, β y γ son los opuestos, respectivamente, a los lados a, b y c.

En trigonometría, las fórmulas de Mollweide, o en algunos textos antiguos ecuaciones de Mollweide, que llevan el nombre de Karl Mollweide, son unas relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.[1]​[2]​ Se pueden usar para comprobar el resultado de la resolución de triángulos.[3]​

Sean a, b y c las longitudes de los tres lados de un triángulo y sean α, β y γ las medidas de los ángulos opuestos a estos tres lados respectivamente. Las fórmulas de Mollweide establecen que:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\operatorname {sen} \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}}$

y que:

${\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\operatorname {sen} \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}.}$

Cada una de estas identidades utiliza seis medidas de un triángulo: los tres ángulos y la longitud de los tres lados.

Cuadrilátero cíclico

Una generalización de la fórmula de Mollweide se cumple para un cuadrilátero cíclico ${\displaystyle \square ABCD.}$ Denotando las longitudes de los lados como ${\displaystyle |AB|=a,}$ ${\displaystyle |BC|=b,}$ ${\displaystyle |CD|=c,}$ y ${\displaystyle |DA|=d}$ y las medidas de los ángulos como ${\displaystyle \angle {DAB}=\alpha ,}$ ${\displaystyle \angle {ABC}=\beta ,}$ ${\displaystyle \angle {BCD}=\gamma ,}$ y ${\displaystyle \angle {CDA}=\delta .}$ Si ${\displaystyle E}$ es el punto de intersección de las diagonales, denotando ${\displaystyle \angle {CED}=\theta ,}$ entonces:[4]​

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\gamma -\delta )}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\delta -\gamma )}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}$

Un triángulo puede considerarse como un cuadrilátero con un lado de longitud cero. Desde esta perspectiva, a medida que ${\displaystyle d}$ se aproxima a cero, un cuadrilátero cíclico converge en un triángulo cíclico (todos los triángulos son cíclicos), y las fórmulas anteriores se simplifican a las fórmulas análogas de triángulos.

Referencias

1. Ernest Julius Wilczynski, Plane Trigonometry and Applications, Allyn and Bacon, 1914, pág. 102.
2. Michael Sullivan, Trigonometry, Dellen Publishing Company, 1988, pág. 243.
3. Ernest Julius Wilczynski, Plane Trigonometry and Applications, Allyn and Bacon, 1914, pàg. 105.
4. José García, Emmanuel Antonio (2022), «Generalización de la fórmula de Mollweide (más bien de Newton)», Matinf 5 (9-10): 19-22, consultado el 29 de diciembre de 2023 .

Véase también

• Teorema del seno
• Teorema del coseno
• Teorema de la tangente

Bibliografía

• H. Arthur De Kleine (diciembre de 1988). «Proof Without Words: Mollweide's Equation». Mathematics Magazine 61 (5): 281. 

• Datos: Q1209055