Fórmula integral de Schwarz

En análisis complejo, la Fórmula integral de Schwarz, nombrada en honor matemático Hermann Amandus Schwarz, permite recuperar una función holomorfa, hasta una constante imaginaria, a partir de los valores límites de su parte real.

Disco Unitario

Sea ${\displaystyle f}$ una función holomorfa en el disco unitario ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|z|\leq 1\}}$ entonces

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|\zeta |=1}{\frac {\zeta +z}{\zeta -z}}\;{\text{Re}}(f(\zeta ))\;{\frac {d\zeta }{\zeta }}+i\;{\text{Im}}(f(0))}$

para todo ${\displaystyle |z|<1}$.

Semiplano superior

Sea ${\displaystyle f}$ una función holomorfa en el semiplano superior cerrado ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)\geq 0\}}$ tal que para algún ${\displaystyle \alpha >0}$, ${\displaystyle |z^{\alpha }f(z)|}$ está acotado por el semiplano superior cerrado entonces

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\zeta ,0)}{\zeta -z}}\,d\zeta ={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {Re(f)(\zeta +0i)}{\zeta -z}}\,d\zeta }$

para todo ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)>0}$.

Considere que, comparando con la versión del disco unitario, esta fórmula no tiene una constante arbitraria añadida a la integral.

Corolario de la fórmula integral de Poisson

La fórmula proviene de la Fórmula integral de Poisson aplicada a ${\displaystyle u}$:[1]​[2]​

${\displaystyle u(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(e^{i\psi })\operatorname {Re} \;{e^{i\psi }+z \over e^{i\psi }-z}\;d\psi }$

para ${\displaystyle |z|<1}$.

Por medio de mapas de conformación, la fórmula se puede generalizar a cualquier conjunto abierto simplemente conexo

Notas y referencias

1. «Lectures on Entire Functions - Google Book Search». books.google.com. Consultado el 26 de junio de 2008. 
2. La derivación sin el uso de la fórmula integral de Poisson puede ser encontrado en: «Copia archivada». Archivado desde el original el 12 de febrero de 2007. Consultado el 28 de abril de 2007. 

• Ahlfors, Lars V. (1979), Complex Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, ISBN 0-07-085008-9
• Remmert, Reinhold (1990), Theory of Complex Functions, Second Edition, Springer, ISBN 0-387-97195-5
• Saff, E. B., and A. D. Snider (1993), Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering, Second Edition, Prentice Hall, ISBN 0-13-327461-6

• Datos: Q4491936