En física, en el estudio de las ondas y de su propagación, la ecuación o fómula de d'Alembert describe la variación en el tiempo y el espacio de una cantidad ondulada. Lleva el nombre de Jean le Rond d'Alembert, quien la enunció en 1747, como una solución al problema de la cuerda vibrante.[1] Esta es históricamente la primera ecuación de onda.
Enunciado
La fórmula de D'Alembert es la solución general de la ecuación de onda, una ecuación en derivadas parciales hiperbólica, en un espacio de una dimensión.
para
.
Las características de esta ecuación son
, por lo que usamos el cambio de variables
para transformar la ecuación en
. La solución general a esta última es
donde
y
son funciones
. En términos de las coordenadas
originales,
donde
es
si
y
son
.
Esta solución
puede interpretarse como suma de dos ondas de velocidades
que se desplazan en direcciones opuestas a lo largo del eje x.
Considérese ahora el problema con las condiciones iniciales de Cauchy
.
Usando
se obtiene
.
Usando
se obtiene
.
Al integrar la última ecuación se obtiene:
Las soluciones del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones última y antepenúltima son
Ahora, usando
se obtiene la fórmula de d'Alembert:
Notas
Bibliografía adicional
- Chester, C. (1971). Techniques in Partial Differential Equations (en inglés). McGraw-Hill. Capítulo 2.
Enlaces externos