Equivalencia (teoría de la medida)

En matemáticas, y específicamente en teoría de la medida, la equivalencia es la noción de que dos medidas son cualitativamente similares. Específicamente, las dos medidas coinciden en qué eventos tienen medida cero.

Definición

Dejar ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \nu }$ ser dos medidas en el espacio mensurable ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),}$ y deja$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \mu (A)=0\}}$$y$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\nu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \nu (A)=0\}}$$ser los conjuntos de ${\displaystyle \mu }$ - conjuntos nulos y ${\displaystyle \nu }$ -conjuntos nulos, respectivamente. Entonces la medida ${\displaystyle \nu }$ se dice que es absolutamente continuo en referencia a ${\displaystyle \mu }$ si y solo si ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\nu }\supseteq {\mathcal {N}}_{\mu }.}$ Esto se denota como ${\displaystyle \nu \ll \mu .}$

Las dos medidas se llaman equivalentes si y sólo si ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ y ${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$ [1]​ que se denota como ${\displaystyle \mu \sim \nu .}$ Es decir, dos medidas son equivalentes si satisfacen ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }={\mathcal {N}}_{\nu }.}$

Ejemplos

En la recta real

Defina las dos medidas en la recta real como$${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x}$$$${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}x^{2}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x}$$para todos los conjuntos Borel ${\displaystyle A.}$ Entonces ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \nu }$ son equivalentes, ya que todos los conjuntos fuera de ${\displaystyle [0,1]}$ tener ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \nu }$ medida cero, y un conjunto dentro ${\displaystyle [0,1]}$ es un ${\displaystyle \mu }$ -conjunto nulo o un ${\displaystyle \nu }$ -conjunto nulo exactamente cuando es un conjunto nulo con respecto a la medida de Lebesgue.

Espacio de medida abstracto

Mira un espacio mensurable ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ y deja ${\displaystyle \mu }$ ser la medida de conteo, entonces$${\displaystyle \mu (A)=|A|,}$$dónde ${\displaystyle |A|}$ es la cardinalidad del conjunto a. Entonces la medida de conteo tiene solo un conjunto nulo, que es el conjunto vacío. Eso es, ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }=\{\varnothing \}.}$ Entonces, según la segunda definición, cualquier otra medida ${\displaystyle \nu }$ es equivalente a la medida de conteo si y solo si también tiene solo el conjunto vacío como único ${\displaystyle \nu }$ -conjunto nulo.

Medidas de apoyo

Una medida ${\displaystyle \mu }$ se llama un supporting measure de una medida ${\displaystyle \nu }$ si ${\displaystyle \mu }$ es ${\displaystyle \sigma }$ -finito y ${\displaystyle \nu }$ es equivalente a ${\displaystyle \mu .}$ [2]​

Referencias

1. Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 156. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 
2. Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Switzerland: Springer. p. 21. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. 

• Datos: Q5384705