Dodecadodecaedro truncado

Dodecadodecaedro truncado
Modelo 3D
Tipo	poliedro estrellado uniforme
Forma de las caras	cuadrado (30) decágono regular (12) decagrama (12)
Configuración de vértices	triángulo
Dual	Mediano disdiaquis triacontaedro
Elementos
Vértices	120
Aristas	180
Caras	54
Más información
MathWorld	TruncatedDodecadodecahedron

En geometría, el dodecadodecaedro truncado (o dodecadodecaedro truncado estrellado) es un poliedro uniforme estrellado, indexado como U₅₉. Su símbolo de Schläfli es t_0,1,2{^5⁄₃,5}. Tiene 54 caras (30 cuadrados, 12 decágonos y 12 decagramss), 180 aristas y 120 vértices.[1]​ La región central del poliedro está conectada al exterior mediante 20 pequeños agujeros triangulares.

El nombre de dodecadodecaedro truncado es algo engañoso: el truncamiento del dodecadodecaedro produciría caras rectangulares en lugar de cuadrados, y las caras del pentagrama del dodecadodecaedro se convertirían en pentagramas truncados en lugar de en decagramas. Sin embargo, es el cuasitruncamiento del dodecadodecaedro, tal como lo define Coxeter, Longuet-Higgins y Miller (1954).[2]​ Por este motivo, también se le conoce como dodecadodecaedro cuasitruncado.[3]​ Coxeter et al. acreditaron su descubrimiento a un artículo publicado en 1881 por el matemático austriaco Johann Pitsch.[4]​

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un dodecadodecaedro truncado son todos los tripletes de números obtenidos por desplazamientos circulares y cambios de signo de los siguientes puntos (donde ${\displaystyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ es el número áureo):

${\displaystyle (1,1,3);\quad ({\frac {1}{\tau }},{\frac {1}{\tau ^{2}}},2\tau );\quad (\tau ,{\frac {2}{\tau }},\tau ^{2});\quad (\tau ^{2},{\frac {1}{\tau ^{2}}},2);\quad ({\sqrt {5}},1,{\sqrt {5}}).}$

Cada uno de estos cinco puntos tiene ocho posibles patrones de signos y tres posibles cambios circulares, dando un total de 120 puntos diferentes.

Como gráfico de Cayley

El dodecadodecaedro truncado forma un grafo de Cayley para el grupo simétrico de cinco elementos, generado por dos miembros del grupo: uno que intercambia los dos primeros elementos de una tupla de cinco y otro que realiza una operación de cambio circular en los últimos cuatro elementos. Es decir, los 120 vértices del poliedro se pueden colocar en correspondencia uno a uno con las 5! permutaciones que se pueden formar con cinco elementos, de tal manera que los tres vecinos de cada vértice sean las tres permutaciones formadas a partir de él intercambiando los dos primeros elementos o desplazando circularmente (en cualquier dirección) los últimos cuatro elementos.[5]​

Poliedros relacionados

Mediano disdiaquis triacontaedro

Mediano disdiaquis triacontaedro
Imagen del sólido
Tipo	Poliedro estrellado
Caras	120
Aristas	180
Vértices	54
Grupo de simetría	Ih, [5,3], *532
Poliedro dual	Dodecadodecaedro truncado

Modelo 3D del ediano disdiaquis triacontaedro

El mediano disdiaquis triacontaedro es un poliedro no convexo isoedral. Es el dual del dodecadodecaedro truncado, un poliedro uniforme estrellado.

Véase también

• Anexo:Poliedros uniformes

Referencias

1. Maeder, Roman. «59: truncated dodecadodecahedron». MathConsult. 
2. Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), «Uniform polyhedra», Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences 246: 401-450, Bibcode:1954RSPTA.246..401C, JSTOR 91532, MR 0062446, doi:10.1098/rsta.1954.0003 .. Véase especialmente la descripción como cuasitruncamiento en la p. 411 y la fotografía de un modelo de su esqueleto en la Fig. 114, Lámina IV.
3. Wenninger escribe "dodecaedro cuasi truncado", pero esto parece ser un error. Wenninger, Magnus J. (1971), «98 Quasitruncated dodecahedron», Polyhedron Models, Cambridge University Press, pp. 152-153 ..
4. Pitsch, Johann (1881), «Über halbreguläre Sternpolyeder», Zeitschrift für das Realschulwesen 6: 9-24, 72-89, 216 .. According to Coxeter, Longuet-Higgins y Miller (1954), the truncated dodecadodecahedron appears as no. XII on p.86.
5. Eppstein, David (2008), «The topology of bendless three-dimensional orthogonal graph drawing», en Tollis, Ioannis G.; Patrignani, Marizio, eds., Proc. 16th Int. Symp. Graph Drawing, Lecture Notes in Computer Science 5417, Heraklion, Crete: Springer-Verlag, pp. 78-89, arXiv:0709.4087, doi:10.1007/978-3-642-00219-9_9 ..

• Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 730208, doi:10.1017/CBO9780511569371 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Truncated dodecadodecahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Medial disdyakis triacontahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q284579