Dimensión de Assouad

Dimensión de Assouad de un triángulo de Sierpinski. Para R=2 y r=1 ${\displaystyle N_{r}(B_{R}(x)\cap E)=3=\left({\frac {2}{1}}\right)^{\alpha }}$, entonces la dimensión puede ser ${\displaystyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}}$ como la dimensión de Hausdorff-Besicovitch

En matemáticas — específicamente, en fractales — la dimensión de Assouad es una definición de dimensión fractal para subconjuntos de un espacio métrico. Fue introducida por Patrice Assouad en su tesis doctoral de 1977 y posteriormente publicado en 1979, aunque ya había sido definida anteriormente por Georges Bouligand en 1928. Además de utilizarse para estudiar fractales, también se ha utilizado para estudiar aplicaciones cuasiconformales y problemas de encaje.

Definición

La dimensión de Assouad de ${\displaystyle X,d_{A}(X)}$, es el mínimo de todos los ${\displaystyle s}$, de modo que ${\displaystyle (X,\varsigma )}$ es ${\displaystyle (M,s)}$-homogéneo para algunos ${\displaystyle M\geq 1}$.[1]​

Sea ${\displaystyle (X,d)}$ un espacio métrico y ${\displaystyle E}$ un subconjunto no vacío de ${\displaystyle X}$. Para ${\displaystyle r>0}$, sea ${\displaystyle N_{r}(E)}$ el menor número de bolas métricas de radio menor o igual a r con las que es posible recubrir el conjunto ${\displaystyle E}$. La dimensión de Assouad de ${\displaystyle E}$ se define como el ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ ínfimo para el que existen constantes positivas ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle \rho }$ de modo que, siempre que

${\displaystyle 0<r<R\leq \rho ,}$

se mantiene el siguiente límite:

${\displaystyle \sup _{x\in E}N_{r}(B_{R}(x)\cap E)\leq C\left({\frac {R}{r}}\right)^{\alpha }.}$

La intuición subyacente a esta definición es que, para un conjunto E con dimensión entera n "ordinaria", el número de bolas pequeñas de radio r necesarias para cubrir la intersección de una bola más grande de radio R con E se escalará como (R/r)^n.

Referencias

1. Robinson, James C. (2010). Dimensions, Embeddings, and Attractors, p.85. Cambridge University Press. ISBN 9781139495189.

Lecturas relacionadas

• Assouad, Patrice (1979). «Étude d'une dimension métrique liée à la possibilité de plongements dans R^n». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A-B 288 (15): A731-A734. ISSN 0151-0509.  MR 532401
• Bouligand, M.G. (1928). "Ensembles impropres et nombredimensionnel", Bulletin des Sciences Mathématiques 52 , pp.320–344.

• Datos: Q17002467