La fórmula para obtener dexp fue probada por primera vez por Friedrich Schur (1891).[3] Más tarde fue elaborada por Henri Poincaré (1899) en el contexto del problema de expresar la multiplicación de grupos de Lie usando términos algebraicos de Lie.[4] También se conoce a veces como la fórmula de Duhamel.
En todo momento, las notaciones exp(X) y eX se usarán indistintamente para denotar el exponencial dado un argumento, excepto cuando, como se señaló, las notaciones tienen significados distintos. Aquí se prefiere la notación utilizada en el cálculo para una mejor legibilidad de las ecuaciones. Por otro lado, el estilo exp es a veces más conveniente para las ecuaciones en línea, y es necesario en las raras ocasiones en las que hay que hacer una distinción real.
Declaración
La derivada de la aplicación exponencial está dada por[6]
(1)
Explicación
X = X(t) es un camino C1 (continuamente diferenciable) en el álgebra de Lie con derivada X ´(t) = dX(t)/dt. El argumento t se omite donde no es necesario.
adX es la transformación lineal del álgebra de Lie dada por adX(Y) = [X, Y]. Es la acción contigua de un álgebra de Lie sobre sí misma.
La fracción 1 − exp(−adX)/adX viene dada por la serie de potencias
(2)
derivada de la serie de potencias de la aplicación exponencial de un endomorfismo lineal, como en la exponenciación matricial.[6]
Cuando G es un grupo de Lie matricial, todas las ocurrencias de la exponencial están dadas por su expansión en serie de potencias.
Cuando Gno es un grupo de Lie matricial, 1 − exp(−adX)/adX todavía puede expresarse por su serie de potencias (2), mientras que las otras dos apariciones de exp en la fórmula, que se corresponden con la aplicación exponencial en la teoría de Lie, referida al flujo de un tiempo del campo vectorialinvariante izquierdoX, es decir, elemento del álgebra de Lie como se define en el caso general, en el grupo de Lie G visto como una variedad analítica. Esto todavía equivale exactamente a la misma fórmula que en el caso de la matriz.
La fórmula se aplica al caso donde exp se considera como una aplicación en el espacio de la matriz sobre ℝ o ℂ (véase matriz exponencial). Cuando G = GL(n, ℂ) o GL(n, ℝ), las nociones coinciden exactamente.
Para calcular el diferencialdexp de exp en X, dexpX:TgX → TGexp(X), empleando la fórmula estándar[2]
se sigue inmediatamente de (1). En particular, dexp0:Tg0 → TGexp(0) = TGe es la identidad porque TgX ≃ g (ya que g es un espacio vectorial) y TGe ≃ g.
Demostración
La prueba dada a continuación asume un grupo de Lie matricial. Esto significa que la aplicación exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie matricial está dado por la serie de potencias habitual, es decir, la exponenciación de la matriz. La conclusión de la prueba aún se mantiene en el caso general, siempre que cada aparición de exp se interprete correctamente. Véanse los comentarios sobre el caso general que figuran más adelante.
El esquema de la demostración hace uso de la técnica de diferenciación con respecto a s de la expresión parametrizada
para obtener una ecuación diferencial de primer orden para Γ que luego se puede resolver mediante la integración directa en s. La solución es entonces eX Γ(1, t).
Lema
Sea Ad la representación adjunta del grupo respecto a su álgebra de Lie. La acción está dada por AdAX = AXA−1 para A ∈ G, X ∈ g. Una relación habitualmente utilizada entre Ad y ad se expresa como[7][nb 1]
(4)
Demostración
Usando la regla del producto dos veces, se obtiene que
Usando la serie de potencias formal para expandir la exponencial, integrando término por término y finalmente reconociendo (2),
de lo que se obtiene el resultado. La prueba, como se presenta aquí, es esencialmente la que se da en Rossmann (2002). Una prueba con un carácter más algebraico se puede encontrar en Hall (2015).[8]
Aproximación formal directa
Mediante la diferenciación directa de la definición de límite estándar de la exponencial, e intercambiando el orden de diferenciación y límite,
donde cada factor debe su lugar a la no conmutatividad de X(t) y X ´(t).
Dividiendo el intervalo de la unidad en secciones NΔs = Δk/N (Δk = 1 ya que los índices de suma son enteros) y teniendo en cuenta que N → ∞, Δk → dk, k/N → s, Σ → ∫, resulta que
La virtud de una prueba formal como esta es que indica cuál "debe" ser la respuesta correcta , siempre que exista. La existencia debe demostrarse por separado en cada caso.
Aquí la notación exp se usa para la aplicación exponencial del álgebra de Lie y la notación de cálculo en la fracción indica la expansión formal en serie habitual. Para obtener más información y dos pruebas completas en el caso general, consúltese la referencia de Sternberg (2004) disponible gratuitamente.
Aplicaciones
Comportamiento local de la aplicación exponencial
El teorema de la función inversa junto con la derivada de la aplicación exponencial proporciona información sobre el comportamiento local de exp. Cualquier Ck, 0 ≤ k ≤ ∞, ω que aplica f entre espacios vectoriales (considerando primero los grupos de Lie matriciales) tiene un inverso de Ck tal que f es una biyección de Ck en un conjunto abierto alrededor de un punto x en el dominio proporcionado dfx que es invertible. De (3) se deduce que esto sucederá precisamente cuando
es invertible. Esto, a su vez, ocurre cuando los valores propios de este operador son todos distintos de cero. Los valores propios de 1 − exp(−adX)/adX están relacionados con los de adX de la siguiente manera. Si g es una función analítica de una variable compleja expresada mediante una serie de potencias tal que g(U) para una matriz U converge, entonces los valores propios de g(U) serán g(λij) (donde λij son los valores propios de U, el subíndice doble se aclara a continuación).[nb 3] En el presente caso con g(U) = 1 − exp(−U)/U y U = adX, los valores propios de 1 − exp(−adX)/adX son
donde λij son los valores propios de adX. Poniendo 1 − exp(−λij)/λij = 0 se ve que dexp es invertible precisamente cuando
Los valores propios de adX están, a su vez, relacionados con los de X. Sean λi los valores propios de X. Fijada una base ordenada ei del espacio vectorial subyacente V de manera que X sea triangular inferior, entonces
con los términos restantes múltiplos de en con n > i. Sea Eij la base correspondiente para el espacio matricial, es decir (Eij)kl = δikδjl. Ordénese esta base de manera que Eij < Enm si i − j < n − m. Se verifica que la acción de adX viene dada por
con los términos restantes múltiplos de Emn > Eij. Esto significa que adX es triangular inferior con sus valores propios λij = λi − λj en la diagonal. La conclusión es que dexpX es invertible, por lo tanto, exp es una biyección bianalítica local alrededor de X, cuando los valores propios de X satisfacen que[10][nb 4]
En particular, en el caso de los grupos de Lie matriciales, se deduce, dado que dexp0 es invertible, por el teorema de la función inversa, que exp es una biyección bi-analítica en una vecindad de 0 ∈ g en el espacio matricial. Además, exp, es una biyección bi-analítica de una vecindad de 0 ∈ g en g a una vecindad de e ∈ G.[11] La misma conclusión es válida para los grupos de Lie generales que utilizan la versión múltiple del teorema de la función inversa.
Sin embargo, utilizando la relación entre Ad y ad dada por (4), es sencillo ver que
y por lo tanto
Poniendo esto en la forma de una integral en t entre 0 y 1, se obtiene
una fórmula integral para Z(1) que es más manejable en la práctica que la fórmula explícita de serie de Dynkin, debido a la simplicidad de la expansión de la serie de ψ. Téngase en cuenta que esta expresión consiste en X+Y y sus conmutadores anidados con X o Y. Una prueba en este sentido se puede encontrar en los libros de texto de Hall (2015) y Miller (1972).
Deducción de la fórmula en serie de Dynkin
La fórmula de Dynkin mencionada también puede derivarse de manera análoga, comenzando por la extensión paramétrica
de donde
para que, usando la fórmula general anterior,
Como, sin embargo,
el último paso en virtud de la expansión de la serie de Mercator, se deduce que
(5)
y, por lo tanto, integrando,
En este punto es evidente que la afirmación cualitativa de la fórmula BCH es válida, a saber, que Z se encuentra en el álgebra de Lie generada por X, Y y se puede expresar como una serie entre paréntesis repetidos (A). Para cada k, los términos de cada partición de los mismos se organizan dentro de la integral ∫dttk−1. La fórmula de Dynkin resultante es entonces
Para una prueba similar con expansiones de series detalladas, véase Rossmann (2002). Para obtener detalles completos, haga clic en "Mostrar" a continuación.
Detalles combinatorios
Cámbiese el índice de la suma en (5) a k = n − 1 y expándase
(97)
en una serie de potencias. Para manejar las expansiones de la serie simplemente, considérese primero
Z = log(eXeY). La serie log y la serie exp están dadas por
respectivamente. Combinando ambas se obtiene
(98)
Esto se convierte en
(99)
donde Sk es el conjunto de todas las secuencias s = (i1, j1, …, ik, jk) of length 2k sujetas a las condiciones expresadas en (99).
Ahora, se sustituye (eXeY − 1) por (eadtXeadtY − 1) en lado izquierdo de (98). La ecuación (99) entonces proporciona
Nótese que el índice del sumatorio para los elementos más a la derecha eadtX en el segundo término en (97) se denotan como ik + 1, pero no son un elemento de una secuencia s ∈ Sk. Ahora, integrando Z = Z(1) = ∫dZ/dtdt, imponiendo que Z(0) = 0,
escribiendo el resultado anterior como
Pero esto es igual a
(100)
usando la simple observación de que [T, T] = 0 para todo T. Esto es, en (100), el primer término se desvanece a menos que jk + 1 sea igual a 0 o 1, correspondiente al primer y segundo términos en la ecuación anterior. En el caso jk + 1 = 0, ik + 1 debe ser igual a 1, o en caso contrario el término se desvanece por la misma razón (ik + 1 = 0 no está permitido). Finalmente, combinando el índice, k → k − 1,
Esta es la fórmula de Dynkin. El llamativo parecido con (99) no es accidental: refleja la aplicación de Dynkin-Specht-Wever, reforzando la deducción original, diferente de la fórmula.[15] Nominalmente, si
es expresable como una serie de paréntesis, entonces necesariamente[18]
(B)
Al poner la observación (A) y el teorema (B) juntos, se obtiene una prueba concisa de la fórmula de BCH explícita.
↑Una prueba de la identidad puede encontrarse aquí. La relación es simplemente la que existe entre una representación de un grupo de Lie y su álgebra de Lie según la correspondencia de Lie, dado que tanto Ad como ad son representaciones con ad = dAd.
↑Esto permite sostener que para |z - 1| < 1 donde Aquí, τ es la función exponencial generadora de donde bk son números de Bernoulli.
↑Esto se ve eligiendo una base para el espacio vectorial subyacente de modo que U sea triangular, siendo los valores propios los elementos diagonales. Entonces Uk es triangular con elementos diagonales λik. Se deduce que los valores propios de U son f(λi). Véase Rossmann, 2002, Lema 6 en la sección 1.2.
↑Las matrices cuyos valores propios λ satisfacen |Im λ| < π están, bajo la exponencial, en biyección con matrices cuyos valores propios μ no están en la línea real negativa o cero. λ y μ están relacionados por la exponencial compleja. Véase Rossmann (2002) Observación 2c sección 1.2.
Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 (2nd edición), Springer, ISBN978-3319134666. Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 (2nd edición), Springer, ISBN978-3319134666.
Miller, Wllard (1972), Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, ISBN0-12-497460-0. Miller, Wllard (1972), Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, ISBN0-12-497460-0.
Poincaré, H. (1899), «Sur les groupes continus», Cambridge Philos. Trans.18: 220-55.
Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN0 19 859683 9. Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN0 19 859683 9.
Schur, F. (1891), «Zur Theorie der endlichen Transformationsgruppen», Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg4: 15-32.
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