Deducción de la fórmula de Bhaskara

La fórmula de Bhaskara o fórmula general para las ecuaciones cuadráticas es una regla general que permite determinar las raíces de un polinomio de segundo grado. Fue deducida por el famoso matemático indio Bhaskara.^[cita requerida]

Lo que se busca es determinar los valores ${\displaystyle x_{1},x_{2}\,}$ para los cuales la ecuación ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ tiene solución:

Demostración sencilla por cambio de variable

Demostración por traslado de la función:

La ecuación de segundo grado representa una parábola, y su mínimo o máximo lo encontramos igualando su derivada a 0, (punto en que la pendiente es 0).

$${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\Rightarrow f'(x)=2ax+b=0\Rightarrow x=-{\frac {b}{2a}}\,}$$

.1-Trasladaremos la función de modo que este punto se encuentre en el punto 0 del eje "x".

de esta forma, el eje "y ", dividirá la función en dos partes simétricas:

Matemáticamente equivale al cambio de variable: ${\displaystyle x=z-{\frac {b}{2a}}\,}$

$${\displaystyle f(z)=az^{2}+{\frac {b^{2}}{2^{2}a}}-bz+bz-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow f(z)=az^{2}+{\frac {b^{2}-2b^{2}+2^{2}ac}{2^{2}a}}}$$

2.-Resolvemos la ecuación cuando ${\displaystyle f(z)=0}$, que nos dará dos soluciones simétricas respecto del eje y

$${\displaystyle az^{2}+{\frac {b^{2}-2b^{2}+2^{2}ac}{2^{2}a}}=0\Rightarrow az^{2}={\frac {b^{2}-2^{2}ac}{2^{2}a}}\Rightarrow z={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-2^{2}ac}}}{2a}}}$$

3.-Ya solo nos queda deshacer el cambio de variable:

$${\displaystyle x=z-{\frac {b}{2a}}={\frac {\sqrt {b^{2}-2^{2}ac}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}\Rightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-2^{2}ac}}}{2a}}\,}$$

Demostración por cambio de variable:

Se puede simplificar aplicando el cambio de variable ${\displaystyle 2m=b/a}$ y ${\displaystyle n=c/a}$. Así la ecuación queda:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$

• Se aplica el cambio de variable

${\displaystyle x^{2}+2mx+n=0\,}$

• Sumando ${\displaystyle m^{2}}$ para ajustar cuadrados, y restando n en ambos miembros

${\displaystyle x^{2}+2mx+m^{2}=m^{2}-n\,}$

• Y seguidamente contrayendo de la siguiente manera

${\displaystyle (x+m)^{2}=m^{2}-n\,}$

• Se aplica la raíz cuadrada a ambos lados

${\displaystyle x+m=\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,}$

• Restando ${\displaystyle m}$ a ambos lados

${\displaystyle x=-m\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,}$

• Deshaciendo la sustitución, ${\displaystyle m=b/2a}$ y ${\displaystyle n=c/a}$

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\,}$

• Y operando se obtiene la siguiente ecuación:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$

Demostración

• Partiendo de la ecuación

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ con ${\displaystyle a\neq 0}$

• Se multiplica por ${\displaystyle 4a}$

${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\,}$

• Seguidamente se suma ${\displaystyle b^{2}}$

${\displaystyle b^{2}+4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=b^{2}\,}$

• Reordenando se observa que es el cuadrado de la suma y por tanto:

${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac\,}$

• Y contrayendo la identidad notable

${\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\,}$

• Aplicación de la raíz cuadrada a ambos lados

${\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,}$

• Restando ${\displaystyle b}$ a ambos lados de la igualdad

${\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,}$

• Como ${\displaystyle a\neq 0}$ se divide entre ${\displaystyle 2a}$

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$

Véase también

• Ecuación de segundo grado

Enlaces externos

• Demostración: Fórmula Resolvente

• Datos: Q5801221