Criterio de la media geométrica

En matemáticas, el criterio de la media geométrica es un criterio para probar la convergencia que permite la resolución de límites del tipo ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}}}}$.

Criterio de la media geométrica

Sea ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ una sucesión de reales positivos con ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$, siendo ${\displaystyle A>0}$. Entonces, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}}}=A}$.

El criterio también es cierto si ${\displaystyle A=+\infty }$.[1]​

Ejemplo

Como la sucesión ${\displaystyle a_{n}={\frac {n^{2}+2}{2n^{2}}}}$ converge a 1/2, entonces[2]​

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {6}{8}}\cdot ...{\frac {n^{2}+2}{2n^{2}}}}}={\frac {1}{2}}}$

Corolario

Un corolario del criterio de la media geométrica es el criterio de la raíz, el cual establece que si una sucesión ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ de reales positivos con ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}=A>0}$, entonces ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=A}$.

Otros criterios de convergencia

• Criterio de Stolz
• Criterio de la media aritmética

Referencias

1. Pérez, Javier. «Cálculo diferencial e integral». Universidad de Granada. Consultado el 30 de julio de 2018. 
2. Llopis, José L. «Criterio de la media geométrica y de la raíz». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 30 de julio de 2018. 

Enlaces externos

• Media geométrica y de la raíz (con demostración y ejemplos)
• Convergencia de sucesiones Archivado el 12 de julio de 2018 en Wayback Machine.

• Datos: Q56324245