es Constantes de Stieltjes

En matemáticas, las constantes de Stieltjes $\gamma _{k}$ son los coeficientes de la expansión en serie de Laurent de la función zeta de Riemann:

\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}

Las constantes de Stieltjes se definen por el siguiente límite

\gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {\ln ^{n}k}{k}}\right)-{\frac {\ln ^{n+1}m}{n+1}}\right]}

(En el caso n = 0, el primer sumando requiere la evaluación de 0⁰, que se toma como 1.)

La fórmula integral de Cauchy nos da la siguiente representación integral:

\gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.

Para el caso n = 0, se recupera la constante de Euler-Mascheroni $\gamma _{0}=\gamma =0.577...$ .

Una aproximación de las primeras constantes viene dada por la siguiente tabla:

Constantes de Stieltjes generalizadas

Más generalmente, se puede definir las constantes de Stieltjes $\gamma _{k}(q)$ asociadas a las expansiones en serie de Laurent de la función zeta de Hurwitz:

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}

Donde q es un número complejo con Re(q)>0. Como la función zeta de Hurwitz es un generalización de la función zeta de Riemann, tenemos que:

\gamma _{n}(1)=\gamma _{n}