CofinalidadEn teoría de conjuntos y teoría del orden, un subconjunto A de un conjunto ordenado X es cofinal en X si no tiene cota superior en X. En teoría de conjuntos se utiliza este concepto para definir la noción de cofinalidad, que permite clasificar los distintos cardinales infinitos. Cofinalidad de ordinalesLa definición de conjunto cofinal es:
Por otro lado, la noción de «cofinal» referida a ordinales es:
De este modo, α es cofinal en β si puede «escalarse» el ordinal β en α «saltos» arbitrariamente grandes, superando cualquier ordinal menor que β. Se define entonces la cofinalidad de un ordinal como:
Es decir, cf(α) es el número mínimo de «saltos» necesarios para «escalar» α. La cofinalidad de un ordinal sólo tiene interés para ordinales límite, ya que dado cualquier ordinal sucesor se tiene que cf(α) = 1. En efecto, el rango de la función f : 1 → α dada por f(0) = β es cofinal en α. Puede demostrarse que se requieren infinitos «saltos» para escalar un ordinal límite, y que no cualquier ordinal puede ser la cofinalidad de otro:
Ejemplos. (Se puede utilizar la notación de números alef para hablar de cofinalidades, identificando ℵα con el correspondiente ordinal ωα.)
Ordinal regularUn ordinal α es regular si coincide con su confinalidad, α = cf(α). Un ordinal regular es de hecho un cardinal. Referencias
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