Cociente de Fermat

En teoría de números, el cociente de Fermat ${\displaystyle q_{p}}$ de un número entero a con respecto a un número primo impar p se define como[1]​[2]​[3]​[4]​

${\displaystyle q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p}},}$

o también

${\displaystyle \delta _{p}(a)={\frac {a-a^{p}}{p}}}$.

Este artículo trata sobre la primera definición; para la segunda véase p-derivación. El cociente lleva el nombre del matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665).

Si la base a es coprima respecto al exponente p entonces el pequeño teorema de Fermat afirma que q_p(a) será un número entero. Si la base a también es generadora del grupo multiplicativo de enteros módulo p, entonces q_p(a) será un número cíclico y p será un número primo largo.

Propiedades

A partir de la definición, es obvio que

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}(1)&\equiv 0&&{\pmod {p}}\\q_{p}(-a)&\equiv q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\quad ({\text{since }}2\mid p-1)\end{aligned}}}$

En 1850, Ferdinand Eisenstein demostró que si a y b son coprimos con respecto a p, entonces:[5]​

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}(ab)&\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(a^{r})&\equiv rq_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp a)&\equiv q_{p}(a)\pm {\tfrac {1}{a}}&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp 1)&\equiv \pm 1&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}$

Eisenstein comparó las dos primeras de estas congruencias con las propiedades de los logaritmos. Estas propiedades implican que

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}\!\left({\tfrac {1}{a}}\right)&\equiv -q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}\!\left({\tfrac {a}{b}}\right)&\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}$

En 1895, Dmitry Mirimanoff señaló que una iteración de las reglas de Eisenstein permite obtener el corolario siguiente:[6]​

${\displaystyle q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\tfrac {1}{a}}{\pmod {p}}.}$

De esto se sigue que:[7]​

${\displaystyle q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p}}.}$

Fórmula de Lerch

M. Lerch demostró en 1905 que[8]​[9]​[10]​

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p-1}q_{p}(j)\equiv W_{p}{\pmod {p}}.}$

Aquí ${\displaystyle W_{p}}$ es el cociente de Wilson.

Valores especiales

Eisenstein descubrió que el cociente de Fermat con base 2 podía expresarse en términos de la suma de los recíprocos módulo p de los números que se encuentran en la primera mitad del rango {1, ..., p − 1} :

${\displaystyle -2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$

Autores posteriores demostraron que el número de términos requeridos en tal representación podría reducirse de 1/2 a 1/4, 1/5 o incluso 1/6:

${\displaystyle -3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{4}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$[11]​

${\displaystyle 4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+\sum _{k=\lfloor {\frac {3p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {4p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$[12]​

${\displaystyle 2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{6}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$[13]​[14]​

La serie de Eisenstein también tiene una conexión cada vez más compleja con los cocientes de Fermat con otras bases, siendo los primeros ejemplos:

${\displaystyle -3q_{p}(3)\equiv 2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$[15]​

${\displaystyle -5q_{p}(5)\equiv 4\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+2\sum _{k=\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$[16]​

Primos de Wieferich generalizados

Si q_p(a) ≡ 0 (mod p) entonces a^p−1 ≡ 1 (mod p^2). Los números primos para los que esto es cierto cuando a = 2 se denominan primos de Wieferich. En general, se denominan primos de Wieferich en base a. Las soluciones conocidas de q_p(a) ≡ 0 (mod p) para valores pequeños de a son :[2]​

a	p (comprobado hasta 5 × 10^13)	Secuencia OEIS
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (All primes)	(sucesión A000040 en OEIS)
2	1093, 3511	(sucesión A001220 en OEIS)
3	11, 1006003	(sucesión A014127 en OEIS)
4	1093, 3511
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801	(sucesión A123692 en OEIS)
6	66161, 534851, 3152573	(sucesión A212583 en OEIS)
7	5, 491531	(sucesión A123693 en OEIS)
8	3, 1093, 3511
9	2, 11, 1006003
10	3, 487, 56598313	(sucesión A045616 en OEIS)
11	71
12	2693, 123653	(sucesión A111027 en OEIS)
13	2, 863, 1747591	(sucesión A128667 en OEIS)
14	29, 353, 7596952219	(sucesión A234810 en OEIS)
15	29131, 119327070011	(sucesión A242741 en OEIS)
16	1093, 3511
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351	(sucesión A128668 en OEIS)
18	5, 7, 37, 331, 33923, 1284043	(sucesión A244260 en OEIS)
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489	(sucesión A090968 en OEIS)
20	281, 46457, 9377747, 122959073	(sucesión A242982 en OEIS)
21	2
22	13, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159	(sucesión A298951 en OEIS)
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329	(sucesión A128669 en OEIS)
24	5, 25633
25	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801
26	3, 5, 71, 486999673, 6695256707
27	11, 1006003
28	3, 19, 23
29	2
30	7, 160541, 94727075783

Para obtener más información, consúltese fermatquotient.com ([17]​[18]​[19]​ y[20]​).

Las soluciones más pequeñas de q_p(a) ≡ 0 (mod p) con a= n son:

2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (sucesión A039951 en OEIS)

Un par (p, r) de números primos tales que q_p(r) ≡ 0 (mod p) y q' 'r(p) ≡ 0 (mod r) se llama par de Wieferich.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. «Fermat Quotient». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
2. Fermat Quotient at The Prime Glossary
3. Paulo Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem (1979), especially pp. 152, 159-161.
4. Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory (2000), p. 216.
5. Ferdinand Eisenstein, "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden," Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Preuß. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1850, 36-42
6. Dmitry Mirimanoff, "Sur la congruence (r^p − 1 − 1):p= q_r (mod p)," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300
7. Paul Bachmann, Niedere Zahlentheorie, 2 vols. (Leipzig, 1902), 1:159.
8. Lerch, Mathias (1905). «Zur Theorie des Fermatschen Quotienten ${\displaystyle {\frac {a^{p-1}-1}{p}}=q(a)}$». Mathematische Annalen 60: 471-490. S2CID 123353041. doi:10.1007/bf01561092. hdl:10338.dmlcz/120531. 
9. Sondow, Jonathan (2014). «Lerch quotients, Lerch primes, Fermat-Wilson quotients, and the Wieferich-non-Wilson primes 2, 3, 14771». arXiv:1110.3113  [math.NT]. 
10. Sondow, Jonathan; MacMillan, Kieren (2011). «Reducing the Erdős-Moser equation ${\displaystyle 1^{n}+2^{n}+\cdots +k^{n}=(k+1)^{n}}$ modulo ${\displaystyle k}$ and ${\displaystyle k^{2}}$». arXiv:1011.2154  [math.NT]. 
11. James Whitbread Lee Glaisher, "On the Residues of r^p − 1 to Modulus p^2, p^3, etc.," Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (1901): 1-27.
12. Ladislav Skula, "A note on some relations among special sums of reciprocals modulo p," Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.
13. Emma Lehmer, "On Congruences involving Bernoulli Numbers and the Quotients of Fermat and Wilson," Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, pp. 356ff.
14. Karl Dilcher and Ladislav Skula, "A New Criterion for the First Case of Fermat's Last Theorem," Mathematics of Computation 64 (1995): 363-392.
15. James Whitbread Lee Glaisher, "A General Congruence Theorem relating to the Bernoullian Function," Proceedings of the London Mathematical Society 33 (1900-1901): 27-56, at pp. 49-50.
16. Mathias Lerch, "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…," Mathematische Annalen 60 (1905): 471-490.
17. Wieferich primes to bases up to 1052
18. Wieferich.txt primes to bases up to 10125
19. «Wieferich prime in prime bases up to 1000». Archivado desde el original el 9 de agosto de 2014. Consultado el 28 de septiembre de 2022. 
20. Wieferich primes with level >= 3

Enlaces externos

• Gottfried Helms. Fermat-/Euler-quotients (a^p-1 – 1)/p^k with arbitrary k.
• Richard Fischer. Fermat quotients B^(P-1)== 1 (mod P^2).

• Datos: Q3788278