Cadena de Gauss-Márkov

Los procesos estocásticos de Gauss-Markov o cadenas de Gauss-markov (llamados así en honor a Carl Friedrich Gauss y Andréi Márkov) son procesos estocásticos que satisfacen los requisitos para ser considerados simultáneamente procesos gaussianos y cadenas de Márkov.[1]​[2]​ Un proceso estacionario de Gauss-Márkov es único^[cita requerida] hasta reescalar; tal proceso es conocido también como proceso de Ornstein-Uhlenbeck.

Cada cadena de Gauss-Markov, X(t), posee las tres propiedades siguientes:[3]​

1. Si h(t) es una función escalar no nula de t, entonces Z(t) = h(t)X(t) también es una cadena de Gauss-Márkov
2. Si f(t) es una función escalar no decreciente de t, entonces Z(t) = X(f(t)) también es una cadena de Gauss-Márkov
3. Si el proceso es no degenerado y de cuadrado medio continuo, entonces existe una función escalar no nula h(t) y una función escalar estrictamente creciente f(t) tal que X(t) = h(t)W(f(t)), donde W(t) es el proceso de Wiener estándar.

La propiedad n.º 3 nos dice que todo proceso de Gauss-Márkov no degenerado y de cuadrado medio continuo puede ser sintetizado del proceso estándar de Wiener.

Propiedades de los procesos estacionarios de Gauss-Márkov

Un proceso estacionario de Gauss-Márkov con varianza ${\displaystyle {\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma ^{2}}$ y constante de tiempo ${\displaystyle \beta ^{-1}}$ tiene las siguientes propiedades:

• Autocorrelación exponencial:

${\displaystyle {\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}\,}$.

• Una función de potencias de densidad espectral que también tiene la misma forma que la distribución de Cauchy:

${\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}\,}$.

(Nótese que la distribución de Cauchy y este espectro difieren por factores escalares).

• Lo anterior tiene la siguiente factorización espectral:

${\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(-s+\beta )}}}$

lo que es importante en un filtro de Wiener y en otras áreas.

También existen excepciones triviales para lo anterior.^[aclaración requerida]

Referencias

1. C. E. Rasmussen & C. K. I. Williams (2006). Gaussian Processes for Machine Learning. MIT Press. p. Appendix B. ISBN 026218253X. 
2. Lamon, Pierre (2008). 3D-Position Tracking and Control for All-Terrain Robots. Springer. pp. 93–95. ISBN 978-3-540-78286-5. 
3. C. B. Mehr & J. A. McFadden. Certain Properties of Gaussian Processes and Their First-Passage Times. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), Vol. 27, No. 3(1965), pp. 505-522

• Datos: Q5527857