Axioma del par

En teoría de conjuntos, el axioma del par es un axioma que asegura la existencia de un conjunto que contiene como elementos dos objetos cualesquiera dados previamente.

Enunciado

El axioma del par afirma que dados dos conjuntos (u otros objetos de la teoría), existe un conjunto con exactamente esos elementos. Su enunciado formal es:

Axioma del par ${\displaystyle \forall A\forall B,\,\exists X:\forall \,W\in X,\ W=A\,\vee \,W=B}$

El axioma de extensionalidad asegura que este conjunto es único, por lo que se demuestra la existencia del conjunto {A, B}, definido como:

${\displaystyle \{A,B\}=X|\forall W\in X,\ W=A\vee W=B}$

Consistencia relativa

El axioma del par aparece en los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y de la teoría de Neumann-Bernays-Gödel. Sin embargo, es demostrable a partir del resto de axiomas, en particular del axioma de reemplazo junto con el axioma del conjunto potencia y el axioma del conjunto vacío, por ejemplo.

Referencias

• Tourlakis, George (2011). Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory (en inglés). Cambridge University Press. ISBN 9780521168489.  Discute el axioma del par en III.5.
• Shoenfield, J.R. (1977). «B.1. Axioms of set theory». En Jon Barwise, ed. Handbook of mathematical logic (en inglés). Elsevier Science. ISBN 0-444-86388-5.  En B.1.4 construye los pares no ordenados.

• Datos: Q920796