Zweiseitige Laplace-Transformation

In der Mathematik bezeichnet man mit der zweiseitigen Laplace-Transformation eine Integraltransformation, die nahe verwandt mit der gewöhnlichen, zur Unterscheidung manchmal auch einseitig genannten, Laplace-Transformation ist.

Definition

Für eine reell- oder komplexwertige Funktion ${\displaystyle f(t)}$ einer reellen Variable ${\displaystyle t}$ ist die zweiseitige Laplace-Transformation für alle komplexen Zahlen ${\displaystyle s}$ durch das Integral

${\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-st}f(t)\mathrm {d} t}$

definiert.

Der Unterschied zur gewöhnlichen Laplace-Transformation ist die Integration von ${\displaystyle -\infty }$ bis ${\displaystyle \infty }$ statt über ${\displaystyle (0,\infty )}$.

In der Systemtheorie spielt die zweiseitige Laplace-Transformation, im Gegensatz zur gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation, nur eine untergeordnete Rolle. Der Grund liegt darin, dass sich in der Physik und Technik ausschließlich auftretende kausale Systeme mit der einseitigen Laplace-Transformation beschreiben lassen. Bei der theoretischen Analyse von nichtkausalen Systemen, dies sind Systeme, die eine Wirkung vor der auslösenden Ursache zeigen, ist die zweiseitige Laplace-Transformation zu verwenden, welche, in Abhängigkeit von der Funktion ${\displaystyle f(t)}$, für ${\displaystyle t\to -\infty }$ schlechtes Konvergenzverhalten aufweist. Für kausale Systeme ist das Ergebnis der zweiseitigen Laplace-Transformation identisch zu der gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation. Die zweiseitige Laplace-Transformation tritt außerdem in der Wahrscheinlichkeitstheorie bei momenterzeugenden Funktionen auf.

Zusammenhang

Mit der Heaviside-Funktion ${\displaystyle \epsilon (t)}$ lässt sich die zweiseitige mit der einseitigen Laplace-Transformation ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\cdot \right\}}$ in folgenden Zusammenhang setzen:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)\epsilon (t)\right\}}$

Dazu gleichwertig besteht zwischen den beiden Transformationen folgender Zusammenhang:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{{\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s)}$

Mit der Mellin-Transformation ${\displaystyle {\mathcal {M}}\left\{\cdot \right\}}$ besteht folgender Zusammenhang:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-t})\right\}(s)}$

und der inversen Beziehung:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln t)\right\}(s)}$

Literatur

• Wilbur R. LePage: Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers. Dover Publications, 1980. 
• Balthasar van der Pol und H. Bremmer: Operational Calculus based on the Two-sided Laplace Transform. Cambridge University Press, 1964.