Dahlerup wurde 1836 als Sohn des Propstes Michael Henrik Ludvig Dahlerup und seiner Frau Susanne Marie, geborene Le Sage de Fontena, im Landhaus Norup Præstegård in der Gemeinde Norup in Jütland geboren. Nachdem er ab 1853 bei dem Maler Emmerik Høegh-Guldberg an der Aarhus Katedralskole ersten Zeichenunterricht erhalten hatte, wechselte er 1856 zum Architekturstudium nach Kopenhagen an die Königlich Dänische Kunstakademie. Hier gehörten die Architekten Gustav Friedrich von Hetsch und Johan Henrik Nebelong zu seinen Lehrern. Bereits während des Studiums erhielt er für seine Arbeiten eine Reihe von Preisen, darunter 1857 und 1860 den De Neuhausenske Præmier. 1859 wurde er mit der C.F. Hansen Medaille ausgezeichnet. Auf der jährlichen Ausstellung Charlottenborg Forårsudstilling war er in den Jahren 1857–1859 vertreten.[1]
Von 1854 bis 1864 arbeitete er für den Architekten Niels Sigfred Nebelong.[2] 1871 wurde er Mitglied der Kunstakademie. 1885 heiratete er die Pfarrerstochter Vilhelmine Koch (1861–1926).[3] Mit Hilfe eines Stipendiums bereiste er 1864–1866 Deutschland, Frankreich, Spanien und Italien. Während seine Entwürfe zuvor von der Gotik beeinflusst waren, begann er nach seiner Rückkehr nach Dänemark vor allem im Stil der Renaissance zu arbeiten, verwandte aber auch Einflüsse aus der maurischen Architektur. 1876 besuchte er die Vereinigten Staaten.
Dahlerup war in zahlreichen Ausschüssen und Kommissionen tätig. Beispielsweise gehörte er der jeweiligen Jury für die Beteiligung Dänemarks an den Weltausstellungen in Philadelphia 1876 und Paris 1878 an. Ab 1868 arbeitete er als Hausarchitekt des Kopenhagener Vergnügungsparks Tivoli, ab 1879 wirkte er als künstlerischer Berater der Kopenhagener Hafenbehörde und der Werft der Kongelige Danske Marine. Zudem wurde er der bevorzugte Architekt des Unternehmers Carl Jacobsen und errichtete die meisten Gebäude der Brauerei Carlsberg.[4]
Dahlerup starb 1907 in Kopenhagen. Sein Grab befindet sich auf dem dortigen Friedhof Vestre Kirkegård.