Universelle einhüllende Algebra

Die universelle einhüllende Algebra (auch universelle Einhüllende) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Theorie der Lie-Algebren. Sie ist eine assoziative Algebra, die zeigt, dass man die Lie-Klammer stets als Kommutator auffassen kann, auch bei Lie-Algebren, die nicht von einer assoziativen Algebra herkommen.

Definition

Es sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine Lie-Algebra (über einem Körper). Eine universelle einhüllende Algebra ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathfrak {g}})}$ von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ besteht aus einer unitären assoziativen Algebra und einem Liealgebrenhomomorphismus ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \mathrm {U} ({\mathfrak {g}})}$ (dabei sei die Liealgebrastruktur auf assoziativen Algebren durch den Kommutator gegeben), so dass gilt:

Ist ${\displaystyle A}$ eine unitäre assoziative Algebra, so stehen die Liealgebrahomomorphismen ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to A}$ in Bijektion mit den unitären Algebrenhomomorphismen ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathfrak {g}})\to A}$. Diese Bijektion wird durch den Homomorphismus ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \mathrm {U} ({\mathfrak {g}})}$ vermittelt.

Eigenschaften

• Die wichtigste Aussage über universelle einhüllende Algebren ist der Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt (nach Henri Poincaré, Garrett Birkhoff und Ernst Witt; auch als PBW abgekürzt): Ist ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ eine Basis von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ und ${\displaystyle i\colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {U} ({\mathfrak {g}})}$ die kanonische Abbildung, so bilden die Monome

${\displaystyle i(X_{i_{1}})i(X_{i_{2}})\cdots i(X_{i_{k}})}$ mit ${\displaystyle i_{1}\leq i_{2}\leq \ldots \leq i_{k}}$

eine Basis von ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathfrak {g}})}$.

• Insbesondere ist ${\displaystyle i}$ injektiv, und jede Lie-Algebra ist Unteralgebra einer assoziativen Algebra.
• Moduln unter einer Lie-Algebra sind dasselbe wie Moduln unter ihrer universellen einhüllenden Algebra.

Konstruktion

Man kann die universelle Einhüllende explizit angeben als Quotienten der Tensoralgebra ${\displaystyle \mathrm {T} {\mathfrak {g}}}$ nach dem zweiseitigen Ideal, das von Elementen der Form

${\displaystyle X\otimes Y-Y\otimes X-[X,Y]}$

für ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$ erzeugt wird. Man beachte: Im Unterschied zu den entsprechenden Konstruktionen der äußeren Algebra oder symmetrischen Algebra ist dieses Ideal nicht homogen, ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathfrak {g}})}$ trägt also keine induzierte Graduierung.

Beispiele

• Ist ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ abelsch, so ist die universelle einhüllende Algebra isomorph zur symmetrischen Algebra über ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.