Totalkrümmung

In der Kurventheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, wird die Totalkrümmung einer Kurve ${\displaystyle \varphi \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ definiert als das Integral ihrer Krümmung ${\displaystyle \kappa }$, also als

${\displaystyle \int _{a}^{b}\kappa (s)ds}$.

Kurven in der Ebene

Die Totalkrümmung einer geschlossenen Kurve in der Ebene ist stets ein ganzzahliges Vielfaches von ${\displaystyle 2\pi }$. Der ganzzahlige Faktor ist die Tangentenumlaufzahl der Kurve.

Aus dem Satz von Whitney-Graustein folgt, dass sich die Totalkrümmung einer geschlossenen regulären Kurve unter regulären Homotopien nicht ändert.

Raumkurven

Aus der Fary-Milnor-Ungleichung folgt, dass die Totalkrümmung einer verknoteten Raumkurve stets größer als ${\displaystyle 4\pi }$ ist.

Höherdimensionale Verallgemeinerung

Für höherdimensionale riemannsche Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle (M,g)}$ bezeichnet man als Totale Skalarkrümmung (oder im Fall von Flächen ebenfalls als Totalkrümmung) das Integral

${\displaystyle \int _{M}scal\ dvol_{g}}$

der Skalarkrümmung bezüglich der Volumenform der riemannschen Metrik ${\displaystyle g}$.

Für Flächen folgt aus dem Satz von Gauß-Bonnet, dass ihre Totalkrümmung ${\displaystyle 2\pi \chi (M)}$ nur von der Euler-Charakteristik der Fläche und nicht von der riemannschen Metrik abhängt.

Literatur

• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie: Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten, Springer Spektrum 2013, ISBN 978-3-658-00615-0