Total unzusammenhängender RaumTotal unzusammenhängende Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie untersucht. In jedem topologischen Raum sind einelementige Teilmengen und die leere Menge zusammenhängend. Die total unzusammenhängenden Räume sind dadurch gekennzeichnet, dass es in ihnen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen gibt. Das wohl bekannteste Beispiel ist die Cantor-Menge. Total unzusammenhängende Räume treten in vielen mathematischen Theorien auf. DefinitionEin topologischer Raum heißt total unzusammenhängend, wenn es neben der leeren und den einelementigen Teilmengen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen gibt. Beispiele
Eigenschaften
AnwendungenBoolesche AlgebrenNach dem Darstellungssatz von Stone gibt es zu jeder Booleschen Algebra einen bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten, total unzusammenhängenden, kompakten Hausdorffraum , so dass die Boolesche Algebra isomorph zur Algebra der offen-abgeschlossenen Teilmengen von ist.[2] Daher nennt man total unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume in diesem Zusammenhang auch Boolesche Räume. C*-AlgebrenJede kommutative C*-Algebra ist nach dem Satz von Gelfand-Neumark isometrisch isomorph zur Algebra der stetigen Funktionen für einen bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten lokalkompakten Hausdorffraum . Es gilt[3]:
p-adische ZahlenDie ganzen p-adischen Zahlen zu einer Primzahl sind bekanntlich als Reihen der Form mit darstellbar. Damit kann man mit identifizieren, was zu einem total unzusammenhängenden, kompakten Hausdorffraum macht. Dann ist der Körper der p-adischen Zahlen ein σ-kompakter, lokalkompakter, total unzusammenhängender Raum. Einzelnachweise
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