Satz von Palm-Chintschin

Der Satz von Palm-Chintschin der Stochastik besagt, dass sich die Überlagerung (Superposition) einer hinreichend großen Anzahl von nicht notwendigerweise poissonschen Erneuerungsprozessen asymptotisch einem Poisson-Prozess annähert, wenn die Ereignisse in den einzelnen Prozessen relativ selten auftreten. Der Satz beruht auf Arbeiten von Conny Palm aus dem Jahr 1943[1] und Aleksander Chintschin aus dem Jahr 1955[2]. Er findet Anwendung in der Warteschlangentheorie und Zuverlässigkeitsanalyse, zum Beispiel bei der Modellierung von Ankunftsprozessen von Kunden oder seltenen Ereignissen in der Versicherungsmathematik.

Aussage

Seien ${\displaystyle \{N_{mi}(t),t\geq 0\}}$ für ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle i=1,2,\dotsc ,m}$ unabhängige Erneuerungsprozesse und

${\displaystyle N_{m}(t)=N_{m1}(t)+N_{m2}(t)+\ldots +N_{mm}(t)}$

die Superposition dieser Prozesse. Weiter bezeichne ${\displaystyle X_{mi}}$ die Zeit zwischen der ersten und zweiten Erneuerung in Prozess ${\displaystyle i}$ sowie ${\displaystyle \lambda _{mi}=1/E(X_{mi})}$. Unter den Annahmen

1. Für alle hinreichend große ${\displaystyle m}$ gelte: ${\displaystyle \lambda _{m1}+\lambda _{m2}+\ldots +\lambda _{mm}=\lambda <\infty }$.
2. Gegeben ${\displaystyle \varepsilon >0}$, für jedes ${\displaystyle t>0}$ und hinreichend große ${\displaystyle m}$ gelte: ${\displaystyle P(X_{mi}\leq t)<\varepsilon }$ für alle ${\displaystyle i}$.

strebt dann die Überlagerung der Zählprozesse ${\displaystyle N_{m}(t)}$ für ${\displaystyle m}$ gegen ${\displaystyle \infty }$ gegen einen Poisson-Prozess mit Rate ${\displaystyle \lambda }$.[3]

Erweiterungen

Es gibt zahlreiche Erweiterungen, z. B. den Satz von Grigelionis,[4] der die Annahmen verallgemeinert und als Grenzprozess einen nicht-homogenen Poisson-Prozess ableitet. In der Software-Zuverlässigkeit gibt es zahlreiche Erweiterungen für Software-Zuverlässigkeitswachstumsmodelle, klassisch z. B. den Satz von Littlewood,[5] bei dem der Ausfallprozess für komplexe Software-Systeme, deren interne Struktur durch Markow-Ketten beschrieben werden kann, ebenfalls wieder gegen einen Poisson-Prozess strebt.

Einzelnachweise

1. Conny Palm: Intensitätsschwankungen im Fernsprechverkehr, Ericsson Techniks 44, 1–189 (1943)
2. Aleksander Chintschin: Matematicheskie metody teorii massovogo obsluzhivaniia, Trudy Matematicheskogo Instituta Steklov, Akad. Nauk, U.S.S.R., Vol. 49 (1955)
3. Daniel P. Heyman, Matthew J. Sobel: Stochastic Models in Operations Research: Stochastic Processes and Operating Characteristics, Courier Corporation, 2003, ISBN 978-0-48643-259-5, S. 156–161
4. Alessandro Birolini: Reliability Theory, 7. Auflage, Springer, Heidelberg, 2013, Kapitel A7.8.3
5. Littlewood, B.: A reliability model for systems with Markov structure, Applied Statistics 24 (1975), 172–177.