Anspach wurde in Island als Tochter der isländischen Architektin Högna Sigurðardóttir und eines Deutsch-Amerikaners geboren. Sie wuchs jedoch in New York und Paris auf. In Paris studierte sie Philosophie und klinische Psychologie sowie anschließend Filmregie an der La Fémis.[3] Ihr Filmstudium schloss sie 1990 mit dem Kurzdokumentarfilm Par amour ab, in dem eine Strafgefangene berichtet, wie sie ihren Mann umgebracht hat.[4]
Zunächst arbeitete Anspach im Dokumentarfilmbereich und schuf zahlreiche Kurzdokumentarfilme, darunter Vestmannaeyjar (1990) über den Vulkanausbruch auf den Westmännerinseln im Jahr 1973,[5]Sandrine à Paris (1992) über eine Pariser Taschendiebin, Barbara, du bist nicht schuldig (1998) über Groschenromane und ihre Leserinnen, sowie verschiedene Folgen der Reihe Alla la terre. Ihr Spielfilmregiedebüt gab sie 1999 mit Haut les cœurs!. In der Geschichte einer schwangeren Frau, die bei einer Routineuntersuchung erfährt, dass sie an Brustkrebs erkrankt ist, verarbeitete Anspach auch ihre eigene Brustkrebserkrankung.[6] Für Haut les cœurs! erhielt sie 2000 ihre erste César-Nominierung in der Kategorie Bestes Erstlingswerk. Ihre Komödie Bin gleich zurück wurde 2008 beim Locarno International Film Festival mit dem Variety Piazza Grande Award ausgezeichnet. Die Französischen Filmtage Tübingen-Stuttgart widmeten Anspach 2013 eine Retrospektive.[7]
Anspach verstarb 2015 in ihrem Haus im Département Drôme an Brustkrebs. Zu dem Zeitpunkt befand sich ihr aktueller Film Der Effekt des Wassers gerade in der Postproduktion. Er wurde durch Jean-Luc Gaget, Anne Riegel, Skuli Fr. Malmquist, Patrick Sobelman sowie Martin Wheeler fertiggestellt[8] und im Mai 2016 auf den Internationalen Filmfestspielen von Cannes uraufgeführt. Anspach wurde in Cannes postum mit dem Prix SACD ausgezeichnet und erhielt 2017 gemeinsam mit Jean-Luc Gaget einen César in der Kategorie Bestes Originaldrehbuch.
Die Drehbuchidee zum 2021 veröffentlichten Film Im Herzen jung stammt von Anspach.
