Aumont fing in den 1970er Jahren mit einigen kleinen Fernsehrollen an, bevor er gegen Ende der 1970er Jahre seine ersten Kinoauftritte hatte. Zu seinen bekanntesten Filmen zählten Moliere – Ein Theaterleben (1973), Jetzt oder nie! (1980) und Ein Sonntag auf dem Lande (1985) – für die beiden letztgenannten wurde er für einen César als Bester Nebendarsteller nominiert – sowie Der Graf von Monte Christo. 1980 und 1985 folgte je eine weitere Nominierung für den César. Sein Schaffen umfasst rund 170 Film- und Fernsehproduktionen. Zuletzt trat er 2017 als Darsteller in Erscheinung.