Weber studierte an der Universität StuttgartGeschichtswissenschaft und Germanistik und legte 1985 das Staatsexamen ab. 1989 promovierte er bei Norbert Conrads mit einer Dissertation über Das Verhältnis Schlesiens zum Alten Reich in der Frühen Neuzeit. 1996 erfolgte die Habilitation für „Neuere Geschichte und Deutsche Landesgeschichte“ an der Carl von Ossietzky Universität Oldenburg mit einer Arbeit zum Thema Die schlesischen Polizei- und Landesordnungen der Frühen Neuzeit. Von 1985 bis 1990 war Weber wissenschaftlicher Mitarbeiter am Historischen Institut der Universität Stuttgart, ab 1990 wissenschaftlicher Mitarbeiter am Bundesinstitut für Kultur und Geschichte der Deutschen im östlichen Europa (BKGE) in Oldenburg, dessen Direktor er seit 2004 ist. Seit 1999 ist er zudem außerplanmäßiger Professor an der Carl von Ossietzky Universität Oldenburg.
Weber leitete internationale Forschungsprojekte mit Partnern in Ostmitteleuropa, verfasste mehrere Monografien und zahlreiche Aufsätze, ist Herausgeber und Mitherausgeber von zahlreichen wissenschaftlichen und populärwissenschaftlichen Sammelbänden, Schriftenreihen sowie Mitglied wissenschaftlicher Gremien:
mit J. Harasimowicz: Adel in Schlesien. Band 1: Herrschaft, Kultur, Selbstdarstellung. München 2010, ISBN 978-3-486-58877-4.
mit B. Olschowsky u. a.: Erinnerungsorte in Ostmitteleuropa. Erfahrungen der Vergangenheit und Perspektiven. München 2011, ISBN 978-3-486-70244-6.
mit Marek Hałub: Mein Schlesien – Meine Schlesier. Zugänge und Sichtweisen / Mój Śląsk – moi Ślązacy. Eksploracje i Obserwacje. 2 Bände, Leipzig 2011 und 2014, ISBN 978-3-86583-596-3 (polnisch, deutsch).
mit Dieter Bingen, Marek Hałub: Mein Polen – meine Polen. Zugänge und Sichtweisen. Wiesbaden 2016; polnisch: Moja Polska – moi Polacy. Eksploracje i obserwacje. Warszawa 2016.
