Lemma von Thue

Das Lemma von Thue, bei manchen Autoren auch Satz von Thue genannt, ist ein Lehrsatz der Elementaren Zahlentheorie, eines Teilgebiets der Mathematik. Es geht auf den norwegischen Mathematiker Axel Thue zurück und spielt eine Rolle bei Untersuchungen zu diophantischen Gleichungen. Der Beweis beruht auf dem dirichletschen Schubfachprinzip.[1][2][3][4]

Formulierung des Lemmas

Thues Lemma lässt sich zusammengefasst formulieren wie folgt:[5][2][6][4][4][7]

Sind eine ganze Zahl ${\displaystyle l}$ und eine zu dieser teilerfremde positive natürliche Zahl ${\displaystyle m}$ gegeben, so gibt es stets ein Paar ${\displaystyle (x,y)}$ von positiven natürlichen Zahlen, welches einerseits den Ungleichungen

(U)   ${\displaystyle x,y<{\sqrt {m}}}$

genügt sowie andererseits mindestens eine der beiden Kongruenzrelationen

(K₁)   ${\displaystyle l\cdot y\equiv x{\pmod {m}}}$

bzw.

(K₂)   ${\displaystyle l\cdot y\equiv -x{\pmod {m}}}$

erfüllt.

Insbesondere gilt:

Zu einer ganzen Zahl ${\displaystyle l}$ und einer Primzahl ${\displaystyle m}$ , welche ${\displaystyle l}$ nicht teilt, findet man stets ein Paar ${\displaystyle (x,y)}$ von ganzen Zahlen, welches den Ungleichungen

(U^*)   ${\displaystyle 0<|x|,|y|<{\sqrt {m}}}$

genügt und zugleich die Kongruenzrelation

(K^*)   ${\displaystyle l\cdot y\equiv x{\pmod {m}}}$

erfüllt.

Darüber hinaus gilt sogar allgemeiner:[8]

Seien ${\displaystyle l,m,u,v}$ ganze Zahlen und dabei ${\displaystyle l}$ und ${\displaystyle m}$ teilerfremd und zugleich die Ungleichungen ${\displaystyle 0<u,v\leq m<u\cdot v}$ erfüllt.

Dann gibt es ein Paar ${\displaystyle (x,y)}$ von ganzen Zahlen, welches den Ungleichungen ${\displaystyle 0<x<u}$ und ${\displaystyle 0<y<v}$ genügt und zugleich eine der beiden obigen Kongruenzrelationen K_i erfüllt.

Folgesatz

Mit dem thueschen Lemma (und unter Zuhilfenahme des Ersten Ergänzungssatzes zum quadratischen Reziprozitätsgesetz) lässt sich ein bekannter Satz über die Darstellbarkeit gewisser Primzahlen als Quadratsummen beweisen, welcher zuerst von Leonhard Euler bewiesen wurde (jedoch auch schon Albert Girard und Pierre de Fermat bekannt gewesen sein soll):[9][3]

Eine Primzahl ${\displaystyle p}$, welche der Kongruenzrelation ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ genügt, hat stets eine Summendarstellung ${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}\;(a,b\in \mathbb {N} )}$ und diese Darstellung ist, von der Reihenfolge der beiden Summanden abgesehen, sogar eindeutig.

Historische Anmerkung

Axel Thues Lemma geht auf eine seiner Arbeiten aus Jahre 1915 zurück.[10] Schon im Jahre 1913 hatte ein(e) Mathematiker(in) namens L. Aubry ein verwandtes Resultat vorgelegt. Zu beiden wurde in der Folge von diversen Autoren eine Anzahl von Verallgemeinerungen geliefert.[11]

Literatur

• Alfred Brauer, R. L. Reynolds: On a theorem of Aubry-Thue. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 3, 1951, S. 367–374 (MR0048487). 
• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie (= Springer-Lehrbuch). 6., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76490-8. 
• Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds, Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9.  MR1089881
• Hartmut Menzer: Zahlentheorie. Fünf ausgewählte Themenstellungen der Zahlentheorie. Oldenbourg Verlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59674-8. 
• Trygve Nagell, Atle Selberg, Sigmund Selberg, Knut Thalberg (Hrsg.): Selected Mathematical Papers of Axel Thue. With an introduction by Carl Ludwig Siegel. Universitetsforlaget, Oslo / Bergen / Tromsø 1977, ISBN 82-00-01649-8 (MR1567083). 
• Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics (= Discrete Mathematics and its Applications). CRC Press, 2000, ISBN 0-8493-0149-1. 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 
• A. Scholz, B. Schoeneberg (Hrsg.): Einführung in die Zahlentheorie (= Sammlung Göschen. Band 1131). Walter de Gruyter, Berlin 1966 (MR0071438). 

Einzelnachweise und Notizen

1. Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 2008, S. 154 ff
2. Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers 1988, S. 30–31
3. Hartmut Menzer: Zahlentheorie. 2010, S. 273 ff.
4. Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. 2000, S. 234
5. Bundschuh, op. cit., S. 155
6. Menzer, op. cit., S. 274
7. A. Scholz, B. Schoeneberg: Einführung in die Zahlentheorie. 1966, S. 44 ff
8. Diese etwas allgemeinere Fassung des Lemmas geht auf die Einführung in die Zahlentheorie von Scholz und Schoeneberg (s. S. 44) zurück.
9. Bundschuh, op. cit., S. 154–156
10. Vgl. hierzu die Besprechung der Arbeit von Brauer und Reynolds in den Mathematical Reviews (MR0048487). Hinsichtlich des ersten Auftretens des Lemmas weist der zugehörige Artikel Thue’s lemma in der englischsprachigen Wikipedia auf eine von Thue im Jahre 1902 vorgelegte Arbeit hin. Siehe: Trygve Nagell et al. (Hrsg.): Selected Mathematical Papers of Axel Thue. 1977, S. 57–75, S. 539–549!
11. Alfred Brauer, R. L. Reynolds: On a theorem of Aubry-Thue. In: Canadian J. Math., 3, S. 367 ff.