Konjugiertes Element

Algebraisch konjugiert nennt man Elemente eines Körpers, wenn sie bezüglich eines Unterkörpers dasselbe Minimalpolynom haben.

Definition

Seien ${\displaystyle L/K}$ eine Körpererweiterung und ${\displaystyle K[x]}$ der Polynomring zu ${\displaystyle K}$ mit der Unbestimmten ${\displaystyle x}$. Die Elemente ${\displaystyle a,b\in L}$ seien algebraisch über ${\displaystyle K}$, das heißt, es existieren ${\displaystyle 0\neq q(x),p(x)\in K[x]}$ mit ${\displaystyle p(a)=q(b)=0}$.

Dann heißen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ algebraisch konjugiert über ${\displaystyle K}$, wenn ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ dasselbe Minimalpolynom über ${\displaystyle K}$ haben.

Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch kürzer nur von „konjugiert“.

Eigenschaften

• ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ sind genau dann konjugiert über dem Körper ${\displaystyle K}$, wenn für alle ${\displaystyle p(x)\in K[x]}$ gilt, dass ${\displaystyle p(a)=0\Leftrightarrow p(b)=0}$.
• Sei ${\displaystyle L/K}$ eine endliche Körpererweiterung mit ${\displaystyle L=K(b)}$ für ein ${\displaystyle b\in L\setminus K}$. Dann sind ${\displaystyle a,b\in L}$ genau dann konjugiert über dem Körper ${\displaystyle K}$, wenn es ein Element ${\displaystyle \varphi }$ in der Galoisgruppe ${\displaystyle \mathrm {Gal} (L/K)}$ gibt mit ${\displaystyle \varphi (a)=b}$.

Beispiele

• Die komplexen Zahlen ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle -i}$ haben über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ beide das Minimalpolynom ${\displaystyle \textstyle x^{2}+1}$ und sind daher algebraisch konjugiert über ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ haben sie natürlich die Minimalpolynome ${\displaystyle x-i}$ bzw. ${\displaystyle x+i}$ und sind nicht konjugiert.
• Allgemeiner gilt: Zwei komplexe Zahlen ${\displaystyle a+bi}$ und ${\displaystyle c+di}$ mit ${\displaystyle b,d\neq 0}$ sind genau dann algebraisch konjugiert über ${\displaystyle \mathbb {R} }$, wenn sie durch komplexe Konjugation auseinander hervorgehen, also ${\displaystyle a=c,b=-d}$ gilt. Das gemeinsame Minimalpolynom ist in diesem Fall ${\displaystyle x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}}$.
• Die Goldene Zahl ${\displaystyle \Phi }$ und ihr negativer Kehrwert sind konjugiert über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Sie sind Lösungen des Minimalpolynoms ${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1}$.
• Die zu ${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ algebraisch Konjugierten erhält man wie folgt: Aus

${\displaystyle x_{1}^{2}=5+2{\sqrt {6}}}$, ${\displaystyle \quad x_{1}^{3}=11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\quad }$ und ${\displaystyle \quad x_{1}^{4}=49+20{\sqrt {6}}}$

ergibt sich das Minimalpolynom

${\displaystyle x^{4}-10x^{2}+1=\left(x^{2}-5\right)^{2}-24}$.

Durch zweifaches Wurzelziehen erhält man, zusammen mit der Beziehung ${\displaystyle 5\pm 2{\sqrt {6}}=({\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}})^{2}}$, die weiteren Nullstellen:

${\displaystyle x_{2}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}$,${\displaystyle \quad x_{3}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$,${\displaystyle \quad x_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}$.

Literatur

• Chr. Karpfinger, K. Meyberg: Algebra. Gruppe – Ringe – Körper. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54721-2.