Klassischer Wiener-Raum

Der klassische Wiener-Raum bezeichnet in der Stochastik den Raum, auf dem Norbert Wiener sein Wiener-Maß im Jahre 1923 konstruiert hat. Wiener selbst nannte diesen Raum Differentialraum (englisch Differential-Space).[1] Er konstruierte das Wiener-Maß als ein Gaußsches Maß auf einer unendlichdimensionalen Sphäre im Funktionenraum der stetigen Funktionen auf dem Interval ${\displaystyle [0,1]}$.

Den Wiener-Raum nennt man klassisch zur Unterscheidung zwischen dem von Wiener betrachteten Raum und der von Leonard Gross verallgemeinerten Konstruktion des abstrakten Wiener-Raumes.

Der klassische Wiener-Raum

Die Wiener-Sphäre

Wiener betrachtete Differentiale ${\displaystyle {\dot {B}}_{t}=dB_{t}/dt}$ eines Pfades der brownschen Bewegung. Dass die brownsche Bewegung eigentlich nirgends-differenzierbar ist (außer im distributionalen Sinne), bewies er erst rund 10 Jahre später.[2] Informell berechnete er die ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$-Norm von ${\displaystyle {\dot {B}}_{t}}$ unter Verwendung der Eigenschaft ${\displaystyle dB_{t}^{2}=dt}$[3]

${\displaystyle \|{\dot {B}}_{t}\|^{2}=\int _{0}^{1}{\dot {B}}_{t}^{2}\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}(1/\mathrm {d} t)\mathrm {d} t=(1/\mathrm {d} t)=\infty }$

und somit ${\displaystyle \|{\dot {B}}_{t}\|={\sqrt {\infty }}=\infty }$.

Inspiriert durch Diskussionen mit Paul Lévy sah Wiener ${\displaystyle {\dot {B}}_{t}}$ auf der unendlichdimensionalen Sphäre ${\displaystyle S^{\infty }({\sqrt {\infty }})}$ mit Radius ${\displaystyle \infty }$ und interpretierte die Normalverteilung als die Gleichverteilung auf der Sphäre.[4] Diese Vorstellung geht zurück auf Henri Poincaré.[5] Poincaré bemerkte, dass wenn ein Zufallsvektor ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$ der Gleichverteilung auf ${\displaystyle S^{n-1}({\sqrt {n}})}$ oder äquivalent unter Skalierung auf ${\displaystyle S^{n-1}(1)}$ folgt, dann gilt für den Grenzwert ${\displaystyle m}$ fixierter Punkte in der unendlichdimensionalen Sphäre

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(\bigcap \limits _{i=1}^{m}x_{i}\in [a_{i},b_{i}]\right)=\int _{a_{1}}^{b_{1}}{\frac {e^{-{\tfrac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {d} x\cdots \int _{a_{m}}^{b_{m}}{\frac {e^{-{\tfrac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {d} x.}$

Sei nun ${\displaystyle \omega :[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ein Beispielpfad der eindimensionalen Standard-Brownschen-Bewegung und ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }$ eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle L^{2}[0,\infty )}$, dann induziert die Abbildung

${\displaystyle \omega (t)\to (\omega _{1},\omega _{2},\dots )}$

definiert durch

${\displaystyle \omega _{n}=\int _{0}^{\infty }e_{n}(t)\mathrm {d} \omega (t)}$

einen Isomorphismus zwischen der brownschen Bewegung und dem Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ mit der Grenzwert-Verteilung von Poincaré

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(\bigcap \limits _{i=1}^{m}\omega (t)\in [a_{i},b_{i}]\right)=\int _{a_{1}}^{b_{1}}{\frac {e^{-{\tfrac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {d} x\cdots \int _{a_{m}}^{b_{m}}{\frac {e^{-{\tfrac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {d} x.}$[6]

Herleitung des Wiener-Raumes

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Es gibt unterschiedliche Wege einen stochastischen Prozess zu sehen. Die klassische Interpretation ist, dass ein stochastischer Prozess eine Familie von Zufallsvariablen mit der Index-Menge ${\displaystyle T}$ ist, induziert durch ${\displaystyle \{X_{t}\colon \Omega \to Z,\;t\in T\}.}$ Ein stochastischer Prozess ist aber auch eine Familie von Zufallsfunktionen (englisch random functions) für jedes ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ induziert durch

${\displaystyle \omega \mapsto \{t\mapsto X_{t}(\omega )\}.}$

Die Zufallsfunktionen sind Punkte im Funktionenraum ${\displaystyle {\mathcal {F}}(T,E)}$ aller Funktionen von ${\displaystyle T}$ nach ${\displaystyle E}$. Es ist bekannt, dass man den Raum ${\displaystyle {\mathcal {F}}(T,E)}$ mit dem Produktraum ${\displaystyle E^{T}}$ identifizieren kann und wir betrachten somit eine Abbildung ${\displaystyle \Omega \to E^{T}.}$ Möchten wir nun einen ${\displaystyle d}$-dimensionalen reellen Prozess definieren und wählen ${\displaystyle E^{T}:=(\mathbb {R} ^{d})^{[0,\infty )}}$, so werden wir in Probleme der Messbarkeit laufen. Deshalb definieren wir die Koordinaten-Abbildungen ${\displaystyle Y_{t}:E^{T}\to E}$ durch

${\displaystyle y\mapsto y_{t}(\omega )=\omega (t)}$

welche einen stochastischen Prozess ${\displaystyle (Y_{t})}$ bilden und definieren deren kleinste σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{T}=\sigma (Y_{t}:t\geq 0)}$. Die Zufallsvariable ${\displaystyle Y_{t}}$ nennt man auch kanonische Version von ${\displaystyle X_{t}}$ oder Koordinaten-Funktional ([7]). Weiter existiert eine Abbildung ${\displaystyle \varphi }$ definiert durch

${\displaystyle Y_{t}(\varphi (\omega ))=\varphi (\omega )(t)=X_{t}(\omega ).}$

Ein stochastischer Prozess ist somit genau dann ein stochastischer Prozess, wenn er ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{T}}$-messbar ist.[8]

Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle E^{T}}$ können wir nun eine Familie von endlichdimensionalen Verteilungen für ${\displaystyle t=(t_{1},\dots ,t_{n})\in T}$ durch

${\displaystyle Q_{t}(A)=P[\omega \in E^{T}:(\omega (t_{1}),\dots ,\omega (t_{n}))\in A],\quad A\in {\mathcal {B}}(E^{n})}$

definieren, wobei die Menge

${\displaystyle \{\omega \in E^{T}:(\omega (t_{1}),\dots ,\omega (t_{n}))\in A\}}$

Zylindermenge genannt wird und ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E^{n})}$ die kleinste σ-Algebra aller Zylindermengen in ${\displaystyle E^{T}}$ bezeichnet.[9] Umgekehrt gilt nach dem Erweiterungssatz von Daniell-Kolmogorov, dass für jede konsistente Familie ${\displaystyle \{Q_{t}\}}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ existiert, so dass

${\displaystyle Q_{t}(A)=P[\omega \in E^{T}:(\omega (t_{1}),\dots ,\omega (t_{n}))\in A]}$

gilt.[10] Dies führt zur Konstruktion des Wiener-Maßes der brownschen Bewegung.

Satz von Wiener

Es existiert ein eindeutiges Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mu _{W}}$ auf dem Raum der ${\displaystyle d}$-dimensionalen reellen Funktionen, die stetig auf ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ sind und Null auf Null abbilden,

${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} _{+}):=C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ):=\{\omega :\omega {\text{ ist stetig auf }}\mathbb {R} _{+},\omega (0)=0\},}$

so dass der Koordinaten-Prozess die brownsche Bewegung ist. Dieses Maß nennt man Wiener-Maß.

${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} _{+})}$ heißt klassischer Wiener-Raum. In der Literatur wird auch das Tripel selbst ${\displaystyle (C_{0}(\mathbb {R} _{+}),{\mathcal {B}}(C_{0}),\mu _{W})}$ als klassischer Wiener-Raum bezeichnet, wobei ${\displaystyle {\mathcal {B}}(C_{0})}$ die kleinste σ-Algebra der Koordinaten-Abbildungen ist und mit der borelschen σ-Algebra übereinstimmt.

Erläuterungen zur σ-Algebra

Sei ${\displaystyle Y_{t}:C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }$. Dann gilt ${\displaystyle {\mathcal {B}}(C_{0})=C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )\cap {\mathcal {B}}^{[0,\infty )}(\mathbb {R} )=\sigma \left(Y_{t}:t\in [0,\infty )\right)}$, wobei hier mit ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ die Borelsche σ-Algebra notiert ist.[11]

Eigenschaften

• Der klassische Wiener-Raum ${\displaystyle C_{0}(T)}$ für ${\displaystyle T=[0,1]}$ mit der Supremumsnorm

${\displaystyle \|\omega \|_{\infty }=\sup _{t\in T}|\omega (t)|}$

ist ein separabler Banach-Raum, da ${\displaystyle T}$ kompakt und die Funktionen stetig sind. Für ${\displaystyle T=\mathbb {R} _{+}}$ benötigt man zusätzlich die Bedingung ${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }t^{-1}|\omega (t)|=0}$, damit man einen Banach-Raum unter Supremumsnorm erhält.

• Sei ${\displaystyle H\subset C_{0}([0,R])}$ ein Hilbertraum und die Einbettung ${\displaystyle i:H\hookrightarrow C_{0}([0,R])}$ stetig, dann gilt ${\displaystyle \mu _{W}(H)=0}$. Dies wurde 1973 von Smolyanow und Uglanow sowie unabhängig im selben Jahr von Guerquin gezeigt.[12][13] Es existiert aber ein Hilbertraum ${\displaystyle H\subset C_{0}([0,R])}$ mit schwächerer Topologie und ${\displaystyle \mu _{W}(H)=1}$, was 1993 von Uglanow gezeigt wurde.[14]

Literatur

• Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion. In: Springer (Hrsg.): Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 293, 1999 (englisch, Kapitel 1 und 3). 
• Hui-Hsiung Kuo: Gaussian Measures in Banach Spaces. 1975. 

Über die Wiener-Sphäre

• H. P. McKean: Geometry of Differential Space. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 1, Nr. 2, 1973, S. 197–206, doi:10.1214/aop/1176996973 (projecteuclid.org). 
• Nigel Cutland und Siu-Ah Ng: The Wiener Sphere and Wiener Measure. In: Annals of Probability. Band 21, Nr. 1, Januar 1993, S. 1 - 13, doi:10.1214/aop/1176989390. 
• Nigel J. Cutland: Brownian motion on the Wiener sphere and the infinite–dimensional Ornstein–Uhlenbeck process. In: Stochastic Processes and their Applications. Band 79, Nr. 1, 1999, S. 95–107, doi:10.1016/S0304-4149(98)00072-6 (sciencedirect.com). 
• Nigel J. Cutland: 3. Stochastic Calculus of Variations. In: Loeb Measures in Practice: Recent Advances. In: Springer (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics. Band 1751. Berlin, Heidelberg 2000, doi:10.1007/978-3-540-44531-9_3. 

Allgemein historisches zu Wieners Konstruktion

• Arthur Genthon: The concept of velocity in the history of Brownian motion: From physics to mathematics and back. arxiv:2006.05399 (Geschichte zur Wieners Konstruktion). 

Einzelnachweise

1. Norbert Wiener: Differential-Space. In: Journal of Mathematics and Physics. Nr. 2, 1923, doi:10.1002/sapm192321131 (wiley.com). 
2. Paley, R.E.A.C., Wiener, N. & Zygmund: A. Notes on random functions. In: Math Z. Band 37, 1933, S. 647–668, doi:10.1007/BF01474606. 
3. N. J. Cutland: 3. Stochastic Calculus of Variations. In: Loeb Measures in Practice: Recent Advances. In: Springer (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics. Band 1751. Berlin, Heidelberg 2000, doi:10.1007/978-3-540-44531-9_3. 
4. H. P. McKean: Geometry of Differential Space. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 1, Nr. 2, 1973, S. 197–206, doi:10.1214/aop/1176996973 (projecteuclid.org). 
5. Henri Poincaré: Calcul des probabilités. Hrsg.: Gauthier-Villars. Paris 1912 (bnf.fr). 
6. H. P. McKean: Geometry of Differential Space. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 1, Nr. 2, 1973, S. 197–198, doi:10.1214/aop/1176996973 (projecteuclid.org). 
7. A. S. Üstünel: Analysis on Wiener Space and Applications. Hrsg.: arXiv. 2010, S. 1, doi:10.48550/ARXIV.1003.1649, arxiv:1003.1649 [abs]. 
8. Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion. In: Springer (Hrsg.): Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 293, 1999 (englisch, Kapitel 1 und 3). 
9. Ioannis Karatzas und Steven E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus. Hrsg.: Springer Verlag. 1988, S. 49. 
10. Ioannis Karatzas und Steven E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus. Hrsg.: Springer Verlag. 1988, S. 50. 
11. René L. Schilling und Lothar Partzsch: Brownian Motion: An Introduction to Stochastic Processes. Hrsg.: De Gruyter. 2012. 
12. Oleg G. Smolyanov und Alexei V. Uglanow: Every Hilbert subspace of a Wiener space has measure zero. In: Mathematical Notes. Band 14, Nr. 3, 1973, S. 772–774, doi:10.1007/BF01147453. 
13. Małgorzata Guerquin: Non-hilbertian structure of the Wiener measure. In: Colloq. Math. Band 28, 1973, S. 145–146. 
14. Alexei V. Uglanov: Hilbert supports of Wiener measure. In: Math Notes. Band 51, Nr. 6, 1992, S. 589–592, doi:10.1007/BF01263304.