Kondraschin entstammte einer Musikerfamilie. Er studierte von 1932 bis 1936 am Moskauer Konservatorium. Von 1938 bis 1943 war er 1. Kapellmeister am Maly-Operntheater in Leningrad, anschließend wirkte er 13 Jahre in verschiedenen Funktionen am Moskauer Bolschoi-Theater. Von 1956 an war er einer der Chefdirigenten der Moskauer Philharmoniker, von 1960 bis 1976 deren künstlerischer Direktor. In den 60er Jahren hat er verschiedene Werke seines Freundes Dmitri D. Schostakowitsch uraufgeführt, u. a. dessen Symphonien Nr. 4 und Nr. 13 sowie das 2. Violinkonzert. 1979 bat er während einer Tournee in den Niederlanden um politisches Asyl.
„Man muß als Künstler ein Risiko tragen“. Der sowjetische Geiger Gidon Kremer über den Musikbetrieb in Ost und West. In: Der Spiegel. Nr.51, 1979, S.148–157 (online).