Jacobi-Koordinaten

Jacobi-Koordinaten veranschaulicht für vier Körper. Hellblau sind jeweils die virtuellen Massen eingezeichnet. Die Jacobi-Koordinaten sind r₁, r₂, r₃ und R.

Die Jacobi-Koordinaten sind ein System verallgemeinerter Koordinaten für n-Körpersysteme in der Physik. Sie werden insbesondere in der Himmelsmechanik und der Betrachtung mehratomiger Moleküle und chemischer Reaktionen verwendet.[1]

Jacobi-Koordinaten für N Teilchen

Der Algorithmus zum Erhalt der Jacobi-Koordinaten lässt sich wie folgt beschreiben:
Man betrachtet zwei der ${\displaystyle N}$ Teilchen und berechnet ihren Schwerpunkt ${\displaystyle {\vec {R}}=(m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2})/(m_{1}+m_{2})}$, ihre Gesamtmasse ${\displaystyle m_{12}=m_{1}+m_{2}}$ und die relative Position zueinander ${\displaystyle {\vec {r}}_{12}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}}$. Man ersetzt nun die beiden Teilchen durch ein neues virtuelles Teilchen mit Masse ${\displaystyle m_{12}}$ am Ort ${\displaystyle {\vec {R}}}$. Der Relativabstand stellt dabei die erste Jacobi-Koordinate dar: ${\displaystyle {\vec {R}}_{1}={\vec {r}}_{12}}$. Dies wiederholt man nun für die ${\displaystyle N-2}$ anderen Teilchen, sowie das neue virtuelle Teilchen. Nach ${\displaystyle N-1}$ derartigen Schritten erhält man die Jacobi-Koordinaten als ${\displaystyle {\vec {R}}_{i}}$ und ${\displaystyle {\vec {R}}_{N}={\vec {R}}}$ vom letzten Schritt.

In Formeln ergeben sich die Jacobi-Koordinaten zu

${\displaystyle {\vec {R}}_{1}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}\;,\qquad {\vec {R}}_{j}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum \limits _{k=1}^{j}m_{k}{\vec {r}}_{k}-{\vec {r}}_{j+1}\qquad {\text{und}}\qquad {\vec {R}}_{N}={\frac {1}{m_{0}}}\sum \limits _{k=1}^{N}m_{k}{\vec {r}}_{k}}$

mit

${\displaystyle m_{0j}=\sum \limits _{k=1}^{j}m_{k}\;.}$[2]

Dabei ist ${\displaystyle m_{0N}=M}$ die Gesamtmasse des Systems. Die letzte Jacobi-Koordinate ${\displaystyle {\vec {R}}_{N}}$ entspricht dem Schwerpunkt des Systems. Die zugehörigen Geschwindigkeiten berechnen sich als

${\displaystyle {\vec {W}}_{j}={\frac {\mathrm {d} {\vec {R}}_{j}}{\mathrm {d} t}}}$

zu

${\displaystyle {\vec {W}}_{1}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}\;,\qquad {\vec {W}}_{j}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum \limits _{k=1}^{j}m_{k}{\vec {v}}_{k}-{\vec {v}}_{j+1}\qquad {\text{und}}\qquad {\vec {W}}_{N}={\frac {1}{m_{0N}}}\sum \limits _{k=1}^{N}m_{k}{\vec {v}}_{k}\;.}$[2]

Verwendung

In der Himmelsmechanik ermöglichen die Jacobi-Koordinaten, die Hamilton-Funktion eines Planetensystems in einen keplerschen und einen Interaktionsteil aufzuspalten. Diese nutzten Wisdom und Holman 1991[3] zur Konstruktion eines symplektischen Integrators hoher Geschwindigkeit, welcher vor allem in der Implementation namens Swift durch Levison und Duncan[4] weite Verbreitung fand.

Einzelnachweise

1. John Z. H. Zhang, Theory and application of quantum molecular dynamics, World Scientific 1999, S. 104.
2. Patrick Cornille: Advanced electromagnetism and vacuum physics. World Scientific, 2003, ISBN 981-238-367-0, Partition of forces using Jacobi coordinates, S. 102 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
3. J. Wisdom, M. J. Holman: Symplectic maps for the n-body problem. The Astronomical Journal 102, 1991, S. 1528–1538, doi:10.1086/115978.
4. H. F. Levison, M. J. Duncan: The long-term dynamical behavior of short-period comets. Icarus 108, 1994, S. 18–36, doi:10.1006/icar.1994.1039.