Interpolationssatz von Stampacchia

Der Interpolationssatz von Stampacchia, welcher vom italienischen Mathematiker Guido Stampacchia aufgestellt wurde, ähnelt im Grunde dem Interpolationssatz von Marcinkiewicz, wobei hier aber nicht zwischen ${\displaystyle L^{p}}$-Räumen interpoliert wird, sondern durch ${\displaystyle L^{\infty }\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)\rightarrow }$ BMO${\displaystyle \left(Q_{0},\mathbb {R} ^{\phi }\right)}$.

Definition des Satzes

Sei ${\displaystyle Q_{0}}$ ein Würfel im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ und ${\displaystyle T}$ eine lineare Abbildung von ${\displaystyle L^{s}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}$ nach ${\displaystyle L^{s}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{\phi }\right)}$, welche zudem ${\displaystyle L^{\infty }\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}$ nach ${\displaystyle \mathrm {BMO} \left(Q_{0},\mathbb {R} ^{\phi }\right)}$ abbildet, so dass

${\displaystyle \|Tf\|_{L^{s}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{\phi }\right)}\leqslant A_{s}\|f\|_{L^{s}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}\quad \forall f\in L^{s}\left(Q_{0},R^{N}\right)}$

${\displaystyle [Tg]_{*,Q_{0}}\leqslant A_{\infty }\|g\|_{L^{\infty }\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}\quad \forall g\in L^{\infty }\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}$.

Für alle ${\displaystyle p}$ mit ${\displaystyle s<p<\infty }$ bildet dann ${\displaystyle T}$ den Raum ${\displaystyle L^{p}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}$ nach ${\displaystyle L^{p}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{\phi }\right)}$ ab mit

${\displaystyle \left\|T\mu -(T\mu )_{Q_{0}}\right\|_{L^{p}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{\phi }\right)}\leqslant A_{p}\|\mu \|_{L^{p}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}}$,

wobei

${\displaystyle \mathrm {CA} _{\mathrm {s} }{}^{\mathrm {s} /\mathrm {p} }A_{\infty }^{1-\left(s/p\right)}}$.

Bemerkung

Im Sinne der Definition der BMO-Räume stellt ${\displaystyle \mu :Q_{0}\rightarrow \mathbb {R} ^{N}}$ hierbei eine integrierbare Funktion dar, für welche man

${\displaystyle [\mu ]_{*}=[\mu ]_{*,Q_{0}}:=\sup _{Q\subset Q_{0}}\int \limits _{Q}^{}\left|\mu -\mu _{Q}\right|dx}$,

setzt, wobei ${\displaystyle Q_{0}}$ für einen achsenparallelen Würfel im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ steht.

Siehe auch

• Interpolationssatz von Marcinkiewicz

Literatur

• Stampacchia, G.: Sopra una classe di funzioni in n variabili. Ricerche di Matematica, vol. 1, 1952
• Stampacchia, G.: L(p,λ) spaces and interpolation. Comm. Pure and Applied Math, vol. 17, 1964