Furstenberg wurde 1935 unter dem Namen Harry Fürstenberg in Berlin in eine deutsch-jüdische Familie geboren. Seiner Familie gelang 1939, wenige Monate vor Ausbruch des Zweiten Weltkrieges die Emigration aus dem nationalsozialistischen Deutschland in die Vereinigten Staaten. Nach der Emigration änderte er seinen Namen in Hillel Furstenberg.
Furstenberg wandte Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie und Ergodentheorie in der Zahlentheorie und der Theorie der Lie-Gruppen an. 1955 gab er mit topologischen Methoden einen neuen Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen. Bewiesen wurde das zwar schon von Euklid, wichtig waren jedoch die verwendeten Methoden. 1977 gab er einen neuen, ergodentheoretischen Beweis des Satzes von Szemerédi über arithmetische Progressionen in Teilmengen positiver Dichte der natürlichen Zahlen, 1972 bewies er die eindeutige Ergodizität von Flüssen längs Horozyklen auf kompakten hyperbolischen Riemann’schen Flächen. Ergodizität für geodätische Flüsse auf kompakten Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung wurde schon in den Arbeiten von Gustav Hedlund und Eberhard Hopf Ende der 1930er-Jahre bewiesen, diese sind aber nicht eindeutig ergodisch. Furstenberg ist auch für seinen Struktursatz für minimale, distale Flüsse in der topologischen Dynamik bekannt. Er lieferte frühe fundamentale Arbeiten über Zufallsmatrizen (deren asymptotisches Verhalten er mit Struktursätzen über die zugrundeliegenden Lie-Gruppen in Zusammenhang setzte) und studierte stochastische Prozesse in homogenen Räumen und das asymptotische Verhalten von Irrfahrten auf Gruppen.
2010 hielt er einen Plenarvortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress (ICM) in Hyderabad (Ergodic structures and non conventional ergodic theorems), 1990 war er Invited Speaker auf dem ICM in Kyōto (Recurrent ergodic structures and Ramsey theory), 1962 in Stockholm (A Poisson formula for semi-simple Lie groups) und 1970 auf dem ICM in Nizza (Boundaries of Lie groups and discrete subgroups).
Privates
Furstenberg heiratete 1958 seine Frau Rochelle, eine auf Kunst und Kultur spezialisierte Magazin-Schriftstellerin. Mit ihr hat er fünf Kinder.[1]
Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions. In: Journal d’Analyse Mathématique. Band 31, 1977, S. 204–256. doi:10.1007/BF02813304
Recurrence in Ergodic Theory and Combinatorial Number Theory. Princeton University Press, Princeton NJ 1981, ISBN 0-691-08269-3.