Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts. Die Hausdorff-Metrik , benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff , misst den Abstand
δ
(
A
,
B
)
{\displaystyle \delta (A,B)}
kompakten Teilmengen
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
metrischen Raums
E
{\displaystyle E}
Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen einen geringen Hausdorff-Abstand, wenn es zu jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge gibt, zu dem dieses einen geringen Abstand hat.
Definition
Als Hilfsmittel definiert man den Abstand
D
{\displaystyle D}
x
{\displaystyle x}
K
⊆
E
{\displaystyle K\subseteq E}
d
{\displaystyle d}
E
{\displaystyle E}
D
(
x
,
K
)
:=
min
{
d
(
x
,
k
)
∣
k
∈
K
}
.
{\displaystyle D(x,K):=\min\{d(x,k)\mid k\in K\}.}
Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
δ
(
A
,
B
)
:=
max
{
max
{
D
(
a
,
B
)
∣
a
∈
A
}
,
max
{
D
(
b
,
A
)
∣
b
∈
B
}
}
.
{\displaystyle \delta (A,B):=\max\{\max\{D(a,B)\mid a\in A\},\max\{D(b,A)\mid b\in B\}\}.}
Man kann zeigen, dass
δ
{\displaystyle \delta }
E
{\displaystyle E}
Äquivalent kann man den Hausdorff-Abstand definieren als
δ
(
A
,
B
)
=
inf
{
ϵ
≥
0
|
A
⊆
B
ϵ
und
B
⊆
A
ϵ
}
{\displaystyle \delta (A,B)=\inf\{\epsilon \geq 0\,|\ A\subseteq B_{\epsilon }{\text{ und }}B\subseteq A_{\epsilon }\}}
[ 1] wobei
A
ϵ
:=
⋃
a
∈
A
{
z
∈
E
|
d
(
z
,
a
)
≤
ϵ
}
{\displaystyle A_{\epsilon }:=\bigcup _{a\in A}\{z\in E\,|\ d(z,a)\leq \epsilon \}}
dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand von höchstens
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
A
{\displaystyle A}
Anwendungen
In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.
Siehe auch
Literatur
Einzelnachweise
↑ James Munkres: Topology . Prentice Hall, 1999, ISBN 0-13-181629-2 , S. 280–281 (google.com ).
