Bovet setzt sich für die Erhaltung historischer Orgeln ein; unter anderem sorgte er zusammen mit seiner Frau Maria für die Wiederherstellung der Orgel der Familie Alain, für die Jehan Alain seine Kompositionen geschrieben hatte. Er wirkt als Experte für Projekte in Europa, Mexiko und im Fernen Osten.
Von 1988 bis 2009 war er Organist an der Collégiale in Neuenburg, deren neue Orgel er 1996 konzipierte. Er gibt jährlich etwa sechzig Konzerte, sein Repertoire umfasst Musik des Mittelalters, frühe spanische und französische Musik wie auch Werke von Johannes Brahms, Franz Liszt, César Franck, Jehan Alain und Johann Sebastian Bach. Er spielte über fünfzig Schallplatten und CDs überwiegend an historischen Orgeln ein. Daneben leitet er die Société des Concerts Spirituels de Genève und die Société des concerts de la Collégiale de Neuchâtel und ist künstlerischer Direktor des Orgelfestes von Lahti.
Bovet komponierte neben Orgelmusik sinfonische Werke, Konzerte, Opern, Kammermusik und zahlreiche Filmmusiken. Daneben trat er als Herausgeber der Werke von Francisco Correa de Arauxo, José Lidón sowie von Komponisten der Abtei Einsiedeln hervor.