Gilbreaths Vermutung

Gilbreaths Vermutung ist eine unbewiesene zahlentheoretische Behauptung, die die Primzahlen betrifft. Sie wird Norman L. Gilbreath (* 1936) für das Jahr 1958 zugeschrieben,[1] er soll sie beim Kritzeln auf einer Serviette entdeckt haben. Die Vermutung wurde aber bereits 1878 von François Proth[2] zusammen mit einem angeblichen Beweis, der sich später als fehlerhaft erwies, veröffentlicht.

Man schreibt in einer ersten Zeile die Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, … Dann berechnet man die Absolutwerte der Differenzen zwischen aufeinander folgenden Folgegliedern und notiert so die zweite Zeile. Genauso bildet man die dritte und alle folgenden Zeilen:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, …

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, …

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 0, 0, …

1, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, …

1, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, …

1, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, …

1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, …

1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …

1, 0, 0, 0, 0, 0, …

Gilbreaths Vermutung lautet nun, dass der erste Wert jeder Zeile außer der ersten Zeile 1 beträgt. Andrew Odlyzko lieferte eine Überprüfung für die ersten ca. ${\displaystyle 3\cdot 10^{11}}$ Zeilen.[3][4]

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Gilbreath’s Conjecture. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Gilbreath’s conjecture. The Prime Glossary (englisch).
2. François Proth: Sur la série des nombres premiers. In: Nouv. Corresp. Math. 4, 1878, S. 236–240.
3. gilbreath.conj.ps.
4. Andrew M. Odlyzko: Iterated absolute values of differences of consecutive primes. In: Mathematics of Computation. Band 61, Nr. 203, 1993, S. 373–380, doi:10.1090/S0025-5718-1993-1182247-7.