Fluss eines Vektorfeldes

In der Mathematik beschreibt der Fluss eines Vektorfeldes die Bewegung entlang der Lösungskurven der durch das Vektorfeld gegebenen gewöhnlichen Differentialgleichung.

Definition

Sei ${\displaystyle F}$ ein ${\displaystyle C^{1}}$-Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ (oder allgemeiner auf einer offenen Teilmenge einer Mannigfaltigkeit). Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen gibt es für jedes ${\displaystyle x_{0}\in U}$ eine eindeutige maximale Lösung

${\displaystyle x\colon (a(x_{0}),b(x_{0}))\to U}$

der Differentialgleichung

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=F(x(t)),\quad x(0)=x_{0}}$.

Hierbei ist ${\displaystyle (a(x_{0}),b(x_{0}))}$ das (eventuell unendliche) maximale Intervall, auf dem eine Lösung definiert ist. Wir bezeichnen diese vom Startwert ${\displaystyle x_{0}}$ abhängende Kurve mit ${\displaystyle \gamma _{x_{0}}}$.

Sei ${\displaystyle \Sigma _{F}=\left\{(t,x)\in \mathbb {R} \times U\colon a(x)<t<b(x)\right\}}$. Dann heißt die durch

${\displaystyle \Phi (t,x):=\gamma _{x}(t)}$

gegebene Abbildung ${\displaystyle \Phi \colon \Sigma _{F}\to U}$ der Fluss des Vektorfeldes ${\displaystyle F}$.

Eigenschaften

Vektorfeld F(x,y)=(-y,x)

Der Fluss eines Vektorfeldes ist ein Fluss, d. h. eine einparametrige Transformationsgruppe. Es gilt also

${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$

und

${\displaystyle \Phi (s+t,x)=\Phi (s,\Phi (t,x))}$

für alle ${\displaystyle x\in U}$.

Beispiel

Der Fluss des auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ definierten Vektorfeldes

${\displaystyle F(x,y)=(-y,x)}$

ist gegeben durch

${\displaystyle \Phi (t,(x,y))=(\cos(t)x+\sin(t)y,-\sin(t)x+\cos(t)y)}$.

Vollständige Vektorfelder

Das Vektorfeld ${\displaystyle F}$ heißt ein vollständiges Vektorfeld, wenn sein Fluss für alle Zeiten definiert, also

${\displaystyle a(x_{0})=-\infty ,b(x_{0})=\infty }$

für alle ${\displaystyle x_{0}\in U}$, oder äquivalent ${\displaystyle \Sigma _{F}=\mathbb {R} \times U}$ ist.

Vektorfelder mit kompaktem Träger sind stets vollständig. Dies gilt insbesondere für Vektorfelder auf kompakten Mannigfaltigkeiten.

Literatur

• John Lee: „Introduction to smooth manifolds“, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-21752-9
• Vladimir Arnold: „Ordinary differential equations“, Universitext, Springer, ISBN 978-3-540-34563-3

Weblinks

• Flow of a Vectorfield (nLab)