Dimension eines Moduls

In der kommutativen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Moduln Verallgemeinerungen von Vektorräumen. Jeder Vektorraum hat eine Basis, die seine Dimension bestimmt; im Gegensatz dazu sind Moduln im Allgemeinen nicht frei und besitzen keine Basis. In der kommutativen Algebra gibt es mehrere Konzepte, die den Dimensionsbegriff von Vektorräumen auf Moduln verallgemeinern.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definitionen

Dimension eines Moduls

Ist ${\displaystyle M}$ ein Modul über einem Ring ${\displaystyle R}$, so ist seine Dimension definiert als die Krulldimension des Ringes ${\displaystyle R}$ modulo des Annulators von ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle \mathrm {dim} (M):=\mathrm {dim} (R/\mathrm {Ann} (M))}$

Die Ähnlichkeit zwischen dem Begriff Dimension eines Moduls und dem Begriff Dimension eines Vektorraumes ist nur sprachlicher Natur: Als Modul hat jeder Vektorraum die Dimension 0, da ein Körper die Krulldimension 0 hat.

Länge eines Moduls

Ist ${\displaystyle M}$ ein Modul, so ist eine Normalreihe in ${\displaystyle M}$ eine Kette

${\displaystyle M=M_{0}\supsetneq M_{1}\supsetneq \dots \supsetneq M_{n}=0}$

Eine Normalreihe heißt Kompositionsreihe, wenn

${\displaystyle M_{i}/M_{i+1}(0\leq i<n)}$

ein einfacher Modul ist. (${\displaystyle N}$ ist ein einfacher Modul, wenn ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle N}$ die einzigen Untermoduln von ${\displaystyle N}$ sind.)

${\displaystyle M}$ heißt von endlicher Länge, wenn es eine Schranke für die Längen aller Normalreihen gibt. Das Maximum der Längen heißt die Länge von ${\displaystyle M}$ und wird mit

${\displaystyle \ell (M)}$

bezeichnet.

Der Satz von Jordan-Hölder besagt, dass ein Modul, der eine Kompositionsreihe besitzt, eine endliche Länge hat und dass alle Kompositionsreihen gleich lang sind.

Mü eines Moduls

Ist ${\displaystyle M}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle R}$-Modul, so wird mit ${\displaystyle \mu (M)}$ die Anzahl der Elemente eines kürzesten Erzeugendensystems von ${\displaystyle M}$ genannt.

Beispiele

Vektorräume

Ist ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler Vektorraum, dann ist

• ${\displaystyle \mathrm {dim} (V)=0}$ (seine Dimension als Modul)
• ${\displaystyle l(V)=n}$
• ${\displaystyle \mu (V)=n}$

Reguläre lokale Ringe

Ist ${\displaystyle R}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal ${\displaystyle m}$, so ist ${\displaystyle R}$ genau dann regulär, wenn:

${\displaystyle \mu (m)=\mathrm {dim} (R)}$

Für alle Ringe gilt:

${\displaystyle \mu (m)\leq \mathrm {dim} (R)}$

Siehe auch

• Projektive Dimension
• Tiefe

Literatur

• Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6
• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
• Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 ISBN 0-8053-7026-9.