Club-Menge

Als club-Menge wird in der Mengenlehre eine Teilmenge einer Limesordinalzahl bezeichnet, die abgeschlossen und unbeschränkt (engl. closed und unbounded) ist.

Definition

Sei ${\displaystyle \lambda }$ eine Limesordinalzahl. Eine Teilmenge ${\displaystyle x\subseteq \lambda }$ heißt

• abgeschlossen, wenn für jede Folge ${\displaystyle \langle \alpha _{\xi }\in x\mid \xi <\mu \rangle }$ aus ${\displaystyle x}$ gilt:

  ${\displaystyle \lim _{\xi \to \mu }\alpha _{\xi }=\delta \in \lambda \Rightarrow \delta \in x,}$

• unbeschränkt, wenn für alle ${\displaystyle \alpha \in \lambda }$ ein ${\displaystyle \beta \in x}$ existiert mit ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$.

${\displaystyle x}$ heißt club-Menge, falls ${\displaystyle x}$ sowohl abgeschlossen als auch unbeschränkt ist.

Beispiele

Für ${\displaystyle \lambda =\omega }$ ist die Bedingung der Abgeschlossenheit trivialerweise erfüllt, weil es keine Limesordinalzahlen unter ${\displaystyle \omega }$ gibt; club-Mengen von ${\displaystyle \omega }$ sind also lediglich unbeschränkte, d. h. unendliche Teilmengen der natürlichen Zahlen.

Fasst man ${\displaystyle \lambda }$ und die Klasse der Ordinalzahlen ${\displaystyle \operatorname {Ord} }$ mittels der Ordnungstopologie als topologische Räume auf, so ist das Bild jeder stetigen, monoton steigenden Funktion ${\displaystyle f\colon \lambda \to \operatorname {Ord} }$ eine club-Menge.

Der club-Filter

Ist die Konfinalität der Limesordinalzahl ${\displaystyle \lambda }$ überabzählbar, ${\displaystyle \operatorname {cf} \lambda >\omega }$, so ist der Schnitt zweier club-Mengen wieder eine club-Menge. Setzt man ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\lambda }=\{x\subseteq \lambda \mid \exists C\subseteq x\ C{\text{ club}}\}}$, so bildet ${\displaystyle {\mathcal {C_{\lambda }}}}$ also einen Filter, den club-Filter. Er hat unter anderem folgende Eigenschaften:

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\lambda }}$ ist ${\displaystyle \operatorname {cf} \lambda }$-vollständig: Ist ${\displaystyle \gamma \in \operatorname {cf} \lambda }$ und ${\displaystyle C_{\alpha }\in {\mathcal {C}}_{\lambda }}$ für ${\displaystyle \alpha \in \gamma }$, so gilt

  ${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{\alpha \in \gamma }C_{\alpha }\in {\mathcal {C}}_{\lambda }.}$

• Ist ${\displaystyle \lambda }$ eine reguläre Kardinalzahl, so ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\lambda }}$ abgeschlossen gegenüber sogenannten diagonalen Schnitten: Ist ${\displaystyle \langle C_{\alpha }\mid \alpha \in \lambda \rangle }$ eine Familie von club-Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\lambda }}$, so ist

  ${\displaystyle \textstyle \bigtriangleup _{\alpha \in \lambda }C_{\alpha }:=\lbrace \beta \in \lambda \mid \beta \in \bigcap _{\alpha \in \beta }C_{\alpha }\rbrace \in {\mathcal {C}}_{\lambda }.}$

Das zu ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\lambda }}$ duale Ideal, definiert durch ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\lambda }=\{D\subseteq \lambda \mid \lambda \setminus D\in {\mathcal {C}}_{\lambda }\}}$, wird als Ideal der dünnen Teilmengen bezeichnet.

Eine Menge ${\displaystyle S\subseteq \lambda }$ heißt stationär, falls sie nicht dünn ist, also ${\displaystyle S\notin {\mathcal {I}}_{\lambda }}$ gilt. Eine Menge ist genau dann stationär, wenn ihr Schnitt mit jeder club-Menge nicht leer ist.

Siehe auch

• Satz von Fodor
• Reflexionsprinzip (Mengenlehre)

Literatur

• Thomas Jech: Set Theory. 3rd millenium edition, revised and expanded, corrected 4th print. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-44085-2.