Charakteristische Zahl

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie werden charakteristische Zahlen durch Anwendung von Kombinationen charakteristischer Klassen auf die Fundamentalklasse einer Mannigfaltigkeit definiert. Von Bedeutung sind vor allem Pontrjagin-Zahlen und Stiefel-Whitney-Zahlen.

Stiefel-Whitney-Zahlen

Es sei ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle TM}$ ihr Tangentialbündel. Zu jeder Partition von ${\displaystyle n}$ (d. h. jeder Zerlegung ${\displaystyle n=n_{1}+\ldots +n_{k}}$ als Summe positiver ganzer Zahlen) hat man eine Stiefel-Whitney-Zahl

${\displaystyle \langle w_{n_{1}}(TM)\cap \ldots \cap w_{n_{k}}(TM),\,\left[M\right]\rangle \in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$,

wobei ${\displaystyle w_{i}(TM)\in H^{i}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ die ${\displaystyle i}$-te Stiefel-Whitney-Klasse des Tangentialbündels, ${\displaystyle \cap }$ das Cup-Produkt, ${\displaystyle \left[M\right]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ die ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$-Fundamentalklasse sowie ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ die Kronecker-Paarung bezeichnet.

Pontrjagin-Zahlen

Es sei ${\displaystyle M}$ eine orientierbare, ${\displaystyle 4n}$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle TM}$ ihr Tangentialbündel. Zu jeder Partition von ${\displaystyle n}$ hat man eine Pontrjagin-Zahl

${\displaystyle \langle p_{n_{1}}(TM)\cap \ldots \cap p_{n_{k}}(TM),\,\left[M\right]\rangle \in \mathbb {Z} }$,

wobei ${\displaystyle p_{i}(TM)\in H^{4i}(M;\mathbb {Z} )}$ die ${\displaystyle i}$-te Pontrjagin-Klasse des Tangentialbündels, ${\displaystyle \cap }$ das Cup-Produkt, ${\displaystyle \left[M\right]\in H_{4n}(M;\mathbb {Z} )}$ die Fundamentalklasse sowie ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ die Kronecker-Paarung bezeichnet.

Literatur

• John Milnor, James Stasheff: Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974.