Brieskorn-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man als Brieskorn-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \Sigma (k_{1},\ldots ,k_{n})}$ die ${\displaystyle (2n-3)}$-dimensionale Mannigfaltigkeit, die als Schnittmenge der im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ durch die Gleichung

${\displaystyle z_{1}^{k_{1}}+\ldots +z_{n}^{k_{n}}=0}$ (mit ganzen Zahlen ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}\geq 2}$)

gegebenen Hyperfläche mit einer durch die Gleichung

${\displaystyle \vert z_{1}\vert ^{2}+\ldots +\vert z_{n}\vert ^{2}=\epsilon }$ (für ein kleines ${\displaystyle \epsilon >0}$)

gegebenen ${\displaystyle \epsilon }$-Sphäre um den Nullpunkt (die Singularität der Hyperfläche) gegeben ist.

Brieskorn-Mannigfaltigkeiten sind ${\displaystyle (n-3)}$-zusammenhängend, für ${\displaystyle n\geq 4}$ sind sie also genau dann homöomorph zur ${\displaystyle S^{2n-3}}$, wenn sie eine Homologiesphäre sind. Man spricht dann von Brieskorn-Sphären. Brieskorn gibt eine notwendige und hinreichende Bedingung, wann eine Brieskorn-Mannigfaltigkeit eine Homologiesphäre und damit eine Sphäre ist.[1] Andererseits hat Milnor gezeigt, dass zahlreiche Brieskorn-Sphären nicht diffeomorph zur ${\displaystyle S^{2n-3}}$ sind. Zum Beispiel gibt ${\displaystyle \Sigma (2,2,2,3,6k-1)}$ für ${\displaystyle k=1,\ldots ,28}$ die 28 Differentialstrukturen auf der ${\displaystyle S^{7}}$.

Für ${\displaystyle n=3}$ sind die Brieskorn-Sphären ${\displaystyle \Sigma (p,q,r)}$ Homologiesphären, aber im Allgemeinen keine Sphären. Zum Beispiel ist ${\displaystyle \Sigma (2,3,5)}$ die Poincaré-Homologiesphäre.

Einzelnachweise

1. E. Brieskorn: Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten. Invent. Math. 2, 1-14 (1966).