Binomische Reihe

Die binomische Reihe oder Binomialreihe ist eine Potenzreihe der Form

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}=1+\alpha \,x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{2\cdot 3}}x^{3}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)(\alpha -3)}{2\cdot 3\cdot 4}}x^{4}+\dotsb \ }$,

wobei ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$. Ihre Koeffizienten ${\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}}$ sind die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten der Analysis.[1]

Man erhält die binomische Reihe als (formale) Taylorentwicklung der Funktion ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$ mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle x_{0}=0}$.

Konvergenz

Das Konvergenzverhalten der binomischen Reihe hängt vom Exponenten ${\displaystyle \alpha }$ und den Werten für ${\displaystyle x}$ ab.

Natürliche Exponenten

Ist ${\displaystyle \alpha }$ eine natürliche Zahl, so bricht die Reihe nach dem Glied mit ${\displaystyle k=\alpha }$ ab, da ${\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}=0}$ für alle ${\displaystyle k>\alpha }$ gilt. Somit handelt es sich dann um ein (endliches) Polynom. Für jedes ${\displaystyle x}$ gilt dem binomischen Lehrsatz zufolge

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\alpha }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}=(x+1)^{\alpha }}$.

Nicht-natürliche Exponenten

Falls ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }$, so handelt es sich um eine „echte“ (d. h. unendliche) Reihe. Die binomische Reihe konvergiert dann für alle ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle |x|<1}$ gegen die Funktion, aus der sie entwickelt wurde:[1]

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}=(1+x)^{\alpha }}$.

Verhalten auf dem Rand des Konvergenzkreises

Ist ${\displaystyle |x|=1}$ und ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }$, so gilt:

• Die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\tbinom {\alpha }{k}}x^{k}}$ konvergiert genau dann absolut, wenn ${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}$ oder ${\displaystyle \alpha =0}$ ist (${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )}$ bezeichnet den Realteil von ${\displaystyle \alpha }$).
• Für alle ${\displaystyle x\neq -1}$ auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn ${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>-1}$ ist.
• Für ${\displaystyle x=-1}$ konvergiert die Reihe genau dann, wenn ${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}$ oder ${\displaystyle \alpha =0}$ ist.

Verallgemeinerung

Etwas allgemeiner kann man für ${\displaystyle a>0}$ die folgende Reihe betrachten:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}a^{\alpha -k}}$

Diese konvergiert für ${\displaystyle |{\tfrac {x}{a}}|<1}$ und entspricht dann der Funktion ${\displaystyle f(x)=(a+x)^{\alpha }}$.[2]

Dieses Ergebnis erhält man, indem man das Binom ${\displaystyle (a+x)}$ schreibt als ${\displaystyle (a+x)=a(1+x/a)}$ und darauf die obige Formel anwendet.

Geschichte

Vermutlich wurde die Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ bereits vom persischen Mathematiker Omar Chayyām (1048–1131) entdeckt. Einige Mathematiker vermuten, dass sie aufgrund seiner Kenntnis der Berechnung von Binomialkoeffizienten auch dem chinesischen Mathematiker Zhu Shijie (1260–1320) bekannt war.[3]

Isaac Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl ${\displaystyle \alpha }$ und alle reellen ${\displaystyle x}$ im Intervall ${\displaystyle \left]-1,1\right[}$ das Binom ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }}$ darstellt, lieferte jedoch nie einen Beweis für diese Aussage. Für ihn gab es genug numerische und experimentelle Evidenz, um von ihrer Richtigkeit überzeugt zu sein.[4] Niels Henrik Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe ${\displaystyle \alpha ,x\in \mathbb {C} }$. Er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }$ gilt.[3]

Spezialfälle

Geometrische Reihe

Für ${\displaystyle \alpha =-1}$ erhält man

${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{k}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}\pm \dotsb \,}$.

Ersetzt man noch ${\displaystyle x}$ durch ${\displaystyle -x}$, so folgt hieraus die bekannte Darstellung der geometrischen Reihe:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+\dotsb \,}$.

Reihenentwicklungen für Wurzelausdrücke

Für ${\displaystyle \alpha =1/2}$ erhält man

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}\pm \dotsb }$.

Diese Formel wurde schon von Henry Briggs bei der Berechnung seiner Logarithmen entdeckt.[4] Hiermit eng verwandt ist die Formel, die man für ${\displaystyle \alpha =-1/2}$ erhält:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {-1/2}{k}}x^{k}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}+\dotsb }$.

Literatur

• Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 12. Aufl., Springer, Wiesbaden 2016, ISBN 3-528-67224-2, S. 293–300.
• Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1. 4. Aufl., Springer, Berlin / Heidelberg 1971, ISBN 3-540-05466-9, S. 298–306.

Einzelnachweise

1. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I. 3. Auflage. Birkhäuser, 2006, ISBN 3-7643-7755-0, S. 401–402. 
2. Eric W. Weisstein: Binomial Series. In: MathWorld (englisch).
3. J. L. Coolidge: The Story of the Binomial Theorem. In: The American Mathematical Monthly, März 1949, Band 56, Nr. 3, S. 147–157 (JSTOR)
4. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48917-8, S. 310.