Bewertung (Algebra)

Bewertungen von Körpern sind in der Körpertheorie, einem Gebiet der Algebra, von Bedeutung. Nicht-archimedische p-adische Bewertungen werden für die Konstruktion der p-adischen Zahlen verwendet und sind damit grundlegend für die p-adische Geometrie. In älteren Zugängen zur algebraischen Geometrie wurden auch Bewertungen von Funktionenkörpern verwendet.

Bewertungen

Eine Bewertung eines Körpers ${\displaystyle K}$ ist eine Funktion ${\displaystyle \varphi \colon K\to P}$ in einen angeordneten Körper ${\displaystyle P}$ mit den Eigenschaften[1][2][3]

1. ${\displaystyle \varphi (x)\geq 0}$ und ${\displaystyle \varphi (x)=0\iff x=0}$
2. ${\displaystyle \varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)}$
3. ${\displaystyle \varphi (x+y)\leq \varphi (x)+\varphi (y)}$

Ein Beispiel einer Bewertung ist die Betragsfunktion ${\displaystyle |x|}$ auf den reellen oder komplexen Zahlen mit der Signatur ${\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} }$. Eine Bewertung ${\displaystyle |\cdot |\colon K\to \mathbb {R} }$ heißt nicht-archimedisch, wenn ${\displaystyle |n|\leq 1}$ für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Eine Bewertung ist genau dann nicht-archimedisch, wenn sie die verschärfte Dreiecksungleichung erfüllt. In der Zahlentheorie werden heute aber meist die weiter unten definierten nicht-archimedischen Exponentialbewertungen gemeint, wenn von „Bewertungen“ die Rede ist.

Allgemeine Bewertungen (Exponenentialbewertungen)

Definition

Ist ${\displaystyle G}$ eine totalgeordnete abelsche Gruppe und ${\displaystyle K}$ ein (kommutativer) Körper, so ist eine Abbildung

${\displaystyle v\colon K\to G\cup \{\infty \}}$

eine nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• ${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)}$
• ${\displaystyle v(a)=\infty \iff a=0}$
• ${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}}$

für alle ${\displaystyle a,b\in K}$.

${\displaystyle K}$ heißt dann auch ein bewerteter Körper mit Wertegruppe ${\displaystyle v(K^{\times })\subseteq G}$.

Zwei Bewertungen ${\displaystyle v_{1}}$ und ${\displaystyle v_{2}}$ heißen äquivalent, wenn ${\displaystyle v_{1}(a)<1\Longleftrightarrow v_{2}(a)<1}$ gilt. Äquivalenzklassen von Bewertungen werden auch als Stellen eines gegebenen Körpers bezeichnet.

Bewertungen und Bewertungsringe

Ein Integritätsbereich ${\displaystyle A}$ heißt Bewertungsring, wenn er die folgende Eigenschaft hat:

Für jedes Element ${\displaystyle x}$ des Quotientenkörpers von ${\displaystyle A}$ gilt ${\displaystyle x\in A}$ oder ${\displaystyle x^{-1}\in A}$.

Ist ${\displaystyle A}$ ein Bewertungsring mit Quotientenkörper ${\displaystyle K}$, so kann man eine Bewertung auf ${\displaystyle K}$ mit Wertegruppe ${\displaystyle G=K^{\times }/A^{\times }}$ definieren:

${\displaystyle v\colon K\to G\cup \{\infty \},\quad v(x)=\left\{{\begin{matrix}\infty &x=0\\{}[x]&x\in K^{\times };\end{matrix}}\right.}$

dabei bezeichnet ${\displaystyle [x]}$ das Bild von ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle G=K^{\times }/A^{\times }}$; die Ordnung auf ${\displaystyle G}$ ist definiert durch

${\displaystyle [x]\geq [y]\iff xy^{-1}\in A}$ für ${\displaystyle x,y\in K^{\times }.}$

Ist umgekehrt ${\displaystyle K}$ ein bewerteter Körper mit Bewertung ${\displaystyle v}$, so ist

${\displaystyle \{x\in K\mid v(x)\geq 0\}}$

ein Bewertungsring, der dann auch der Bewertungsring zur Bewertung ${\displaystyle v}$ genannt wird. Die Gruppe ${\displaystyle K^{\times }/A^{\times }}$ ist kanonisch isomorph zur Wertegruppe von ${\displaystyle v}$.

Für einen Körper ${\displaystyle K}$ gibt es also eine bijektive Beziehung zwischen Isomorphieklassen von Bewertungen auf ${\displaystyle K}$ und Bewertungsringen, die in ${\displaystyle K}$ enthalten sind.

Diskrete Bewertungen

Definition

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper. Dann heißt eine surjektive Funktion

${\displaystyle v\colon K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$

eine diskrete Bewertung, Exponentialbewertung oder nicht-archimedische Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• ${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)}$
• ${\displaystyle v(a)=\infty \iff a=0}$
• ${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}}$

für alle ${\displaystyle a,b\in K}$. ${\displaystyle K}$ zusammen mit ${\displaystyle v}$ heißt diskret bewerteter Körper.

Beispiele

• die ${\displaystyle p}$-Bewertung auf den rationalen Zahlen für eine Primzahl ${\displaystyle p}$
• die Nullstellen- bzw. Polordnung meromorpher Funktionen in einem festen Punkt

Diskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe

Die Teilmenge

${\displaystyle A:=\left\{x\in K\mid v(x)\geq 0\right\}}$

bildet einen Unterring von ${\displaystyle K}$, den Bewertungsring von ${\displaystyle v}$. Er ist ein diskreter Bewertungsring mit einem maximalen Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}:=\{x\mid x\in K,v(x)>0\}}$, welches Hauptideal ist.

Ist umgekehrt ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$ ein diskreter Bewertungsring, so ist durch

${\displaystyle v(x)=\sup \left\{k\in \mathbb {Z} \mid x\in {\mathfrak {m}}^{k}\right\}}$

eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper von ${\displaystyle A}$ definiert.

Diskrete Bewertungsringe und diskret bewertete Körper entsprechen einander.

p-Bewertung

Es sei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl.

Die ${\displaystyle p}$-Bewertung (auch: die ${\displaystyle p}$-adische Bewertung oder der ${\displaystyle p}$-Exponent) ${\displaystyle v_{p}(n)}$ einer natürlichen oder ganzen Zahl ${\displaystyle n}$ ist die größte Zahl ${\displaystyle k}$, so dass ${\displaystyle n}$ noch durch ${\displaystyle p^{k}}$ teilbar ist. Die ${\displaystyle p}$-Bewertung gibt an, wie oft eine Primzahl ${\displaystyle p}$ in der Primfaktorzerlegung einer natürlichen oder ganzen Zahl vorkommt.

Ist

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{k}^{a_{k}},}$

so ist

${\displaystyle v_{p_{1}}(n)=a_{1},\quad v_{p_{2}}(n)=a_{2},\quad \ldots ,\quad v_{p_{k}}(n)=a_{k}.}$

Tritt eine Primzahl ${\displaystyle p}$ nicht in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle n}$ auf, dann ist ${\displaystyle v_{p}(n)=0}$.

Man setzt ${\displaystyle v_{p}(0)=\infty }$, weil jede Potenz jeder Primzahl die 0 teilt.

Die ${\displaystyle p}$-Bewertung einer ganzen Zahl ist die ihres Betrags.

Die ${\displaystyle p}$-Bewertung einer rationalen Zahl ist die Differenz der ${\displaystyle p}$-Bewertungen des Zählers und des Nenners: Für eine rationale Zahl ${\displaystyle r={\tfrac {m}{n}}}$ mit ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ ist also

${\displaystyle v_{p}(r)=v_{p}(m)-v_{p}(n).}$

Geht p nur im Nenner des (vollständig gekürzten) Bruchs ${\displaystyle m/n}$ auf, ist ${\displaystyle v_{p}(r)}$ also eine negative Zahl.

Die ${\displaystyle p}$-Bewertung rationaler Zahlen spielt eine wichtige Rolle bei einer Konstruktionsart der p-adischen Zahlen: die Funktion

${\displaystyle r\mapsto p^{-v_{p}(r)}}$

bildet auf den rationalen Zahlen einen nichtarchimedischen Betrag.

p-ganze und S-ganze Zahlen

Eine ${\displaystyle p}$-ganze Zahl (auch "${\displaystyle p}$-adisch ganze Zahl" oder "für ${\displaystyle p}$ ganze Zahl") ist eine rationale Zahl, die nichtnegative ${\displaystyle p}$-Bewertung hat, d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nicht durch ${\displaystyle p}$ teilbar ist. Rationale Zahlen, die nicht ${\displaystyle p}$-ganz sind, werden manchmal auch "${\displaystyle p}$-gebrochen" genannt.

Die Menge aller ${\displaystyle p}$-ganzen Zahlen ist ein Unterring von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, der ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ geschrieben wird. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ ist ein diskreter Bewertungsring, insbesondere gibt es bis auf Assoziierte genau ein irreduzibles Element, nämlich ${\displaystyle p}$.

Ist allgemeiner ${\displaystyle S}$ eine Menge von Primzahlen, so ist eine ${\displaystyle S}$-ganze Zahl eine rationale Zahl, die ${\displaystyle p}$-ganz für jedes ${\displaystyle p\notin S}$ ist (!), d. h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur durch Primzahlen aus ${\displaystyle S}$ teilbar ist. Die Menge der ${\displaystyle S}$-ganzen Zahlen bildet einen Unterring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$ von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Beispiele

• Für ${\displaystyle S=\emptyset }$ ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}=\mathbb {Z} }$.
• Für eine Primzahl ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ und ${\displaystyle S=\mathbb {P} \setminus \{p\}}$ ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}=\mathbb {Z} _{(p)}}$, der diskrete Bewertungsring der ${\displaystyle p}$-ganzen Zahlen.
• Für ${\displaystyle S=\{2,5\}}$ ist ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$ der Ring der abbrechenden (durch eine endliche Ziffernfolge darstellbaren) Dezimalbrüche.

Verallgemeinerungen

Der Begriff einer Norm kann allgemeiner gefasst werden, indem statt Vektorräumen über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ der reellen oder komplexen Zahlen beliebige Vektorräume über bewerteten Körpern ${\displaystyle (K,|\cdot |)}$, also Körpern mit einem Absolutbetrag ${\displaystyle |\cdot |}$, zugelassen werden.[4] Eine weitere Verallgemeinerung besteht darin, dass der Vektorraum durch einen ${\displaystyle R}$-(Links)-Modul ${\displaystyle M}$ über einem unitären Ring mit Betrag ${\displaystyle (R,|\cdot |)}$ ersetzt wird. Eine Funktion ${\displaystyle \|\cdot \|\colon M\to \mathbb {R} _{+}}$ heißt dann Norm auf dem Modul ${\displaystyle M}$, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in M}$ und alle Skalare ${\displaystyle \alpha \in R}$ die drei Normeigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität erfüllt sind. Wenn im Grundring ${\displaystyle R}$ der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird und im Modul ${\displaystyle M}$ die Homogenität zur Subhomogenität abgeschwächt wird, erhält man eine Pseudonorm.

Literatur

• B. L. van der Waerden: Algebra II, Springer-Verlag (1967), ISBN 3-540-03869-8, Achtzehntes Kapitel: "Bewertete Körper", S. 200–234.
• J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag (2006), ISBN 3-5403-7547-3, Kapitel II: "Bewertungstheorie", S. 103–191.
• Serge Lang: Algebra, Springer (2005), ISBN 0-387-95385-X, Absolute Values, S. 465–499.

Weblinks

• Valuation (MathWorld)
• Valuation (Encyclopedia of Mathematics)

Einzelnachweise

1. Waerden, op. cit., S. 200
2. Neukirch, op. cit., S. 121
3. Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen. 2. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 1988, Kapitel 4. S. 65
4. Falko Lorenz: Einführung in die Algebra II. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1997, S. 69.