Antidiagonalmatrix

Als Antidiagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Gegendiagonale Null sind. Sie ist also von der Form

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&\cdots &0&q_{n}\\\vdots &\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&q_{n-1}&0\\0&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\vdots \\q_{1}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}$.

Formale Definition

Eine ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots ,n}}$ heißt antidiagonal, wenn für alle ${\displaystyle i,j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}}$ mit ${\displaystyle i+j\not =n+1}$ der ${\displaystyle (i,j)}$-Eintrag Null ist:

${\displaystyle i+j\not =n+1\Rightarrow a_{ij}=0}$.

Beispiel

Ein Beispiel einer Antidiagonalmatrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&2&0\\0&0&5&0&0\\0&7&0&0&0\\-1&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$.

Eigenschaften

Die Determinante von

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&\cdots &0&q_{n}\\\vdots &\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&q_{n-1}&0\\0&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\vdots \\q_{1}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}$

ist

${\displaystyle \det(A)=(-1)^{n \choose 2}q_{1}q_{2}\ldots q_{n}.}$

Falls alle ${\displaystyle q_{i}}$ von Null verschieden sind, dann ist ${\displaystyle A}$ invertierbar und die zu ${\displaystyle A}$ inverse Matrix ist

${\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}0&\cdots &0&{\frac {1}{q_{_{1}}}}\\\vdots &\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&{\frac {1}{q_{_{2}}}}&0\\0&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\vdots \\{\frac {1}{q_{n}}}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}$-

Das Produkt zweier Antidiagonalmatrizen ist eine Diagonalmatrix. Das Produkt einer Antidiagonalmatrix mit einer Diagonalmatrix (oder umgekehrt) ist eine Antidiagonalmatrix.

Antidiagonalmatrizen sind persymmetrisch.