ca Topologia geom%C3%A8trica

La topologia geomètrica (topologia de dimensions baixes) és l'àrea de la topologia i la topologia algebraica que estudia problemes geomètrics, topològics i algebraics que sorgeixen en l'estudi de varietats de dimensions menors de 5, espais localment homeomorfs dels espais euclidians, des de dimensió zero fins a la quarta. Els seus mètodes s'inspiren en la geometria i la topologia de fenòmens físics inclusivament relativistes i quàntics, i idealitzacions abstractes modernes sobre el concepte de dimensions: sobretot en tres i quatre dimensions.

Per a aquesta ciència -que estudia les varietats i els encaixos, i els encaixos propis entre aquestes-, alguns dels temes representatius són: la teoria de nusos; classificació de 3 i 4-varietats; complements de nusos en la n-esfera, i la teoria topològica quàntica de camp. $S^{n}$

La topologia de dimensions baixes (com també se la coneix) es considera una ciència de gran interactivitat entre totes la branques de la matemàtica i amb altres de la física. Una de les qüestions importants d'aquesta branca (resolta per Perelman al 2006) és la cèlebre conjectura de Poincaré i la conjectura de geometrització de Thruston.

Tòpics

1-varietats

corba: parametrització d'un camí diferenciable entre dos punts en algun espai,
trajectòria: gairebé com una corba, però no necessàriament diferenciable, només se'n demana continuïtat,
circumferència o 1-esfera: qualsevol trajectòria, camí o corba tancada simple,
grup fonamental: functor de la topologia algebraica que assigna a un espai, X, el seu grup fonamental

 $\pi _{1}(X)$

 $\pi _{1}(X)$  (X) {\displaystyle \pi _{1}(X)} $\pi _{1}(X)$

nus: en l'espai X, és un subconjunt K de X, que és homeomorf a l'esfera u,
enllaç: conjunt de components $S^{1}$ connexes, cada component homeomorfa a S $S^{1}$ {\displaystyle S^{1}} $S^{1}$
trena (braid): conjunt unidimensional que té el tipus homotòpic d'un wedge de circumferència,
grup de trenes (braid group),
nus tòric: corba tancada simple en la superfície del toro.

2-varietats

superfície: la corfa d'objectes tridimensionals. Objectes localment homeomorfs a

 $\mathbb {R} ^{2}$  2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{ $\mathbb {R} ^{2}$ }} $\mathbb {R} ^{2}$

esfera,
toro (matemàtiques),
plànol projectiu: espai bidimensional construït en identificar la frontera d'una cinta de Möbius i la frontera d'un disc,
ampolla de Klein: espai que es crea, en unir la frontera de dues cintes de Möbius,
cèrcol o cilindre: I-bundle trivial sobre la 1-esfera,
cinta de Möbius: fibrat no trivial per interval sobre un cercle (I-bundle over S¹),
característica d'Euler: igual a nombre de vèrtexs menys nombre de costats, més nombre de cares. És invariant en posar més vèrtexs i, per tant, costats i cares,
Plànol complex:

 $\mathbb {C}$  {\displaystyle \mathbb {C} } $\mathbb {C}$

Plànol cartesià:

 $\mathbb {R} ^{2}$  2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{ $\mathbb {R} ^{2}$ }} $\mathbb {R} ^{2}$

Curvatura de superfícies: concepte de mesura de com es corben les superfícies localment, tenint com a patró l'esfera de ràdio r que es corba localment 1/r² en cadascun dels seus punts. Observeu que com més gran en sigael radi, la curvatura tendeix a zero (que és la curvatura del pla). Dit d'altra manera: un plànol és com una esfera de radi infinit.