Progressió geomètrica

Progressió geomètrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2

En matemàtiques una progressió geomètrica és una successió de nombres (anomenats termes) que compleix que el quocient entre qualsevol dos membres successius de la successió és una constant anomenada raó o factor de progressió de la successió.

Una successió geomètrica amb raó ${\displaystyle r\neq 0}$ i primer terme ${\displaystyle a}$ és

${\displaystyle a,\,ar,\,ar^{2},ar^{3},\dots }$

Se sol denotar per ${\displaystyle a_{n}}$ al terme que ocupa la posició ${\displaystyle n}$ de la successió. Com que qualsevol terme es pot obtenir a partir de l'element anterior multiplicant-lo per la raó,

${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\cdot r}$

Exemples

• La successió 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... té raó ${\displaystyle r=2}$ i primer terme ${\displaystyle a_{1}=1}$ .
• La successió 729, 486, 324, 216, 144, ... té raó ${\displaystyle r=2/3}$ i primer terme ${\displaystyle a_{1}=729}$ .
• La successió 3, -3, 3, -3, ... té raó ${\displaystyle r=-1}$ i primer terme ${\displaystyle a_{1}=3}$ .

Terme general

Es pot calcular qualsevol terme de la successió a partir del primer terme ${\displaystyle a_{1}}$ i de la raó ${\displaystyle r}$ mitjançant la següent fórmula anomenada terme general:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1},\forall n\in \mathbb {N} }$

Suma de termes consecutius d'una progressió geomètrica

La suma dels primers ${\displaystyle n}$ termes de la successió ${\displaystyle a_{n}}$ és

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$

En el cas que ${\displaystyle r=1}$, aleshores ${\displaystyle S_{n}=a_{1}\cdot n}$. Si ${\displaystyle r\neq 1}$, aleshores[1]

${\displaystyle S_{n}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}}$

La suma és ${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}$ Multipliquem ambdós costats per ${\displaystyle 1-r}$ i desenvolupem l'expressió de la dreta: ${\displaystyle (1-r)S_{n}=(1-r)(a_{1}+\cdots +a_{n})=(a_{1}+\cdots +a_{n})-(a_{1}r+\cdots +a_{n}r)=}$ ${\displaystyle =(a_{1}+\cdots +a_{n})-(a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n+1})=a_{1}-a_{n+1}.}$ D'on, aïllant ${\displaystyle S_{n}}$, obtenim ${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}-a_{n+1}}{1-r}}={\frac {a_{1}-a_{1}r^{n}}{1-r}}=a_{1}\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}}$

Per exemple, la suma dels 5 primers termes progressió alternada 2, 6, 18, ... (primer terme 2 i raó 3) és 242:

${\displaystyle S_{n}=2\cdot {\frac {3^{5}-1}{3-1}}=242}$

Suma de tots els termes d'una progressió geomètrica

Si el valor absolut de la raó és menor que la unitat, ${\displaystyle |r|<1}$, aleshores la suma dels infinits termes de la progressió convergeix a un nombre finit:[1]

${\displaystyle S_{\infty }={\frac {a_{1}}{1-r}}}$

Per exemple, la suma de tots el termes de la progressió 1, 1/5, 1/25, ... és 5/4:

${\displaystyle S_{\infty }={\frac {1}{1-1/5}}={\frac {5}{4}}}$

Monotonia

Una progressió geomètrica és monòtona creixent quan cada terme és major o igual que l'anterior (${\displaystyle a_{n}\geq a_{n-1}}$), monòtona decreixent quan cada terme és menor o igual que l'anterior (${\displaystyle a_{n}\leq a_{n-1}}$), constant quan tots els termes són iguals (${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}}$) i alternada quan cada terme té signe contrari que l'anterior (ocorre quan ${\displaystyle r<0}$).[2]

Monotonia en funció del primer terme ${\displaystyle a_{1}}$ i de la raó ${\displaystyle r}$:[3]

${\displaystyle a_{1}>0}$	${\displaystyle r>1}$	creixent
	${\displaystyle 0<r<1}$	decreixent
${\displaystyle a_{1}<0}$	${\displaystyle r>1}$	decreixent
	${\displaystyle 0<r<1}$	creixent
	${\displaystyle r=1}$	constant
	${\displaystyle r<0}$	alternada

Vegeu també

• Progressió aritmètica
• Sèrie geomètrica

Referències

1. W., Weisstein, Eric. «Geometric Series» (en anglès). [Consulta: 15 maig 2020].
2. Sapiña, R. «Problemes resolts de progressions geomètriques» (en castellà). Problemas y ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 15 maig 2020].
3. Llopis, José L. «Successions o progressions geomètriques» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 15 maig 2020].