Potencial retardat

Electromagnetisme
Electricitat · Magnetisme
Electroestàtica Càrrega elèctrica · Llei de Coulomb · Camp elèctric · Flux elèctric · Llei de Gauss · Potencial elèctric · Inducció electroestàtica · Moment dipolar elèctric · Densitat de polarització
Magnetoestàtica Llei d'Ampère · Corrent elèctric · Camp magnètic · Magnetització · Flux magnètic · Llei de Biot-Savart · Moment magnètic · Llei de Gauss per al magnetisme
Electrodinàmica clàssica Força de Lorentz · Força electromotriu · Inducció electromagnètica · Llei de Faraday · Llei de Lenz · Corrent de desplaçament · Equacions de Maxwell · Camp electromagnètic · Radiació electromagnètica · Potencials de Liénard–Wiechert · Tensor de Maxwell · Corrent de Foucault
Circuit elèctric Conducció elèctrica · Resistència elèctrica · Capacitància · Inductància · Impedància · Ressonador electromagnètic · Circuits en sèrie i en paral·lel · Guia d'ones
Formulació covariant Tensor electromagnètic · Tensor d'energia-impuls · Quadricorrent · Quadripotencial
Científics Ampère · Coulomb · Faraday · Gauss · Heaviside · Henry · Hertz · Lorentz · Maxwell · Tesla · Volta · Weber · Ørsted

En electrodinàmica, els potencials retardats són els potencials electromagnètics per al camp electromagnètic generat per corrents elèctrics variables en el temps o distribucions de càrrega en el passat. Els camps es propaguen a la velocitat de la llum c, de manera que el retard dels camps que connecten causa i efecte en moments anteriors i posteriors és un factor important: el senyal triga un temps finit a propagar-se des d'un punt de la distribució de càrrega o corrent (el punt de la causa) a un altre punt de l'espai (on es mesura l'efecte), vegeu la figura següent.[1]

Calibre de Lorenz

Els vectors de posició r i r ′ utilitzats en el càlcul

El punt de partida són les equacions de Maxwell en la formulació de potencial utilitzant el calibre de Lorenz: [2]

${\displaystyle \Box \varphi ={\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$

on φ(r,t) és el potencial elèctric i A(r, t) és el potencial vector magnètic, per a una font arbitrària de densitat de càrrega ρ(r,t) i densitat de corrent J(r, t) i ${\displaystyle \Box }$ és l'operador D'Alembert. La resolució d'aquests dóna els potencials retardats a continuació (tots en unitats SI).[3]

Per a camps que depenen del temps

Per a camps dependents del temps, els potencials retardats són:

${\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$

on r és un punt de l'espai, t és el temps,

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$

és el temps retardat, i d^3 r' és la mesura d'integració utilitzant r'.

A partir de φ(r,t) i A(r,t), els camps E(r,t) i B(r,t) es poden calcular utilitzant les definicions dels potencials:

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.}$

i això condueix a les equacions de Jefimenko. Els potencials avançats corresponents tenen una forma idèntica, excepte el temps avançat

${\displaystyle t_{a}=t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$

substitueix el temps retardat.[4]

En el calibre de Coulomb

En el calibre de Coulomb, les equacions de Maxwell són

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,}$

encara que les solucions contrasten amb l'anterior, ja que A és un potencial retardat, però φ canvia a l'instant, donat per:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.}$

Això presenta un avantatge i un desavantatge del mesurador de Coulomb - φ és fàcilment calculable a partir de la distribució de càrrega ρ però A no és tan fàcilment calculable a partir de la distribució actual j. Tanmateix, sempre que necessitem que els potencials s'esvaeixen a l'infinit, es poden expressar clarament en termes de camps:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

Referències

1. «8.1: Retarded Potentials» (en anglès), 09-12-2021. [Consulta: 28 setembre 2024].
2. «Retarded Potentials» (en anglès). [Consulta: 28 setembre 2024].
3. «15.12: Retarded Potential» (en anglès), 09-12-2016. [Consulta: 28 setembre 2024].
4. Mathuranathan. «Retarded potentials» (en anglès americà), 09-10-2021. [Consulta: 28 setembre 2024].