Grup puntual de simetria

La flor Bauhinia blakeana de la bandera de Hong Kong que té una simetria C₅; l'estrella en cada pètal té una simetria D₅.

El símbol del Yin i Yang té una simetria C₂ amb els colors invertits

En geometria, un grup puntual és un grup de simetries geomètriques (isometries) que mantenen almenys un punt fix. Hi pot haver grups puntuals en un espai euclidià amb qualsevol dimensió, i cada grup puntual en la dimensió d és un subgrup del grup ortogonal O(d). Els grups puntuals es poden realitzar com a conjunts de matrius ortogonals M que transformen el punt x en el punt y:

y = Mx

on l'origen és el punt fix. Els elements dels grups puntuals poden ser o bé rotacions (determinant de M = 1) o bé reflexions, rotacions impròpies (determinant de M = −1).

Els grups puntuals discrets de més d'una dimensió tenen famílies infinites, però segons el teorema de restricció cristal·logràfica i un dels teoremes de Bieberbach cada nombre de dimensions només té un nombre finit de grups puntuals que són simètrics sobre algunes xarxes o quadrícules amb aquest nombre. Aquests són els grups puntuals cristal·logràfics.