Fractal de Vicsek

4a iteració del fractal de Vicsek (en forma de creu).

En matemàtiques, el fractal de Vicsek, també anomenat caixa fractal i floc de neu de Vicsek, és un fractal proposat per Tamás Vicsek.[1] La seva construcció és semblant a la de la catifa de Sierpinski i la seva dimensió de Hausdorff-Bezikóvitx és ${\displaystyle log(5)/log(3)\approx 1,46497}$.[2] Destaca la seva aplicació en les antenes, particularment en les de telefonia mòbil.

El terme box fractal també fa referència a diversos fractals iterats a partir d'una quadrícula, on a cada iteració s'eliminen diversos quadres, i els presents o bé els absents tenen la imatge anterior reduïda i dibuixada al seu interior. El triangle de Sierpinski pot ser aproximat per un box fractal de 2x2 eliminant una cantonada, i la catifa de Sierpinski amb un de 3x3 i eliminant el quadre del mig.

Construcció

Per construir el fractal de Vicsek en forma de creu se segueixen els següents passos:

1. La construcció comença amb un quadrat.
2. El quadrat es divideix en 9 quadrats iguals (quadrícula 3x3) i s'eliminen els quatre quadrats dels vèrtexs.
3. Es repeteix indefinidament el pas anterior en cadascun dels quadrats no eliminats al pas anterior.

Passos per construir el fractal en forma intercalada:

1. La construcció comença amb un quadrat.
2. El quadrat es divideix en nou quadrats iguals (quadrícula 3x3) i es conserven els quadrats dels vèrtexs i el central i s'eliminen els quatre quadrats restants.
3. Es repeteix indefinidament el pas anterior en cadascun dels quadrats no eliminats al pas anterior.

Primeres 4 iteracions del fractal de Vicsek en forma intercalada (superior) i en forma de creu (inferior) del fractal.

Les dues construccions produeixen corbes idèntiques al límit, però una està inclinada 45 graus respecte a l'altra.

• 
  Autosimilitud del fractal en forma en creu.
• 
  Autosimilitud del fractal en forma intercalada.

Propietats

• El fractal de Vicsek (ambdues versions) presenta autosimilitud exacta.
• Al pas ${\displaystyle n}$ de la construcció del fractal en forma intercalada (començant per ${\displaystyle n=0}$), l'àrea del conjunt és ${\displaystyle (5/9)^{n}}$ i, per tant, l'àrea del fractal (${\displaystyle n\rightarrow \infty }$) és igual a 0. A més a més, el perímetre al pas ${\displaystyle n}$ és ${\displaystyle 4\cdot (5/3)^{n}}$ i, per tant, el perímetre del fractal és infinit.[3]
• La dimensió fractal i dimensió de Hausdorff-Besicovitch del fractal de Vicsek coincideixen pel fet de ser l'atractor d'un sistema de funcions iterades contractives amb raó 1/3.[4]
• El límit del fractal de Vicsek és la corba de Koch quadràtica de tipus 1.

Anàlegs en dimensions superiors

Existeix un anàleg tridimensional del fractal de Vicsek. Es construeix mitjançant la subdivisió d'un cub en 27 cubs més petits, i l'eliminació de tots excepte la "creu central" (el cub central i els sis cubs adjacents). La seva dimensió de Hausdorff és ${\displaystyle log(7)/log(3)\approx 1,7712}$.

De forma similar al fractal bidimensional, aquesta figura té un volum igual a 0. En cada iteració es conserven 7 cubs de cada 27, el que significa un volum de ${\displaystyle (7/27)^{n}}$ en la n-èssima iteració, que s'aproxima a 0 quan ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.

Existeix un nombre infinit de seccions de creu que produeixen el fractal bidimensional de Vicsek.

• 
  Animació tridimensional equivalent al fractal de Vicsek.
• 
  Relació entre el fractal de Vicsek i el Dosser fractal.

Vegeu també

• Catifa de Sierpinski
• Antena fractal
• Triangle de Sierpiński
• Fractal

Referències

1. Shan Fuqi; Gu Hongming; Gao Baoxin «Analysis of a vicsek fractal patch antenna». ICMMT 4th International Conference On, Proceedings Microwave and Millimeter Wave Technology, 2004.. IEEE [Beijing, China], 2004, pàg. 98–101. DOI: 10.1109/ICMMT.2004.1411469.
2. Weisstein, Eric W., «Box Fractal» a MathWorld (en anglès).
3. «Fractal de Vicsek (box fractal)» (en castellà). [Consulta: 27 febrer 2019].
4. «Fractales autosemejantes» (en castellà). [Consulta: 27 febrer 2019].