Factorització de rang

Donada una matriu ${\displaystyle A}$ de dimensió ${\displaystyle m\times n}$ amb rang ${\displaystyle r}$, una descomposició de rang o factorització de rang de ${\displaystyle A}$ és un producte ${\displaystyle A=CF}$, on ${\displaystyle C}$ és una matriu ${\displaystyle m\times r}$ i ${\displaystyle F}$ és una matriu ${\displaystyle r\times n}$.

Tota matriu de dimensió finita té una factorització de rang: Sigui ${\displaystyle A}$ una matriu ${\displaystyle m\times n}$ amb rang per columnes ${\displaystyle r}$. Per definició, existeixen ${\displaystyle r}$ columnes linealment independents d'${\displaystyle A}$; de forma equivalent, la dimensió de l'espai de columnes d'${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle r}$. Sigui ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}}$ una base qualsevol de l'espai de columnes d'${\displaystyle A}$, i col·loquem-la com a vectors columna, per formar la matriu ${\displaystyle C=[c_{1}:c_{2}:\ldots :c_{r}]}$, de dimensió ${\displaystyle m\times r}$. Així, qualsevol vector columna d'${\displaystyle A}$ és una combinació lineal de les columnes de ${\displaystyle C}$. De forma més precisa, si ${\displaystyle A=[a_{1}:a_{2}:\ldots :a_{n}]}$ és una matriu de dimensió ${\displaystyle m\times n}$, on ${\displaystyle a_{j}}$ representa la columna ${\displaystyle j}$-sima, llavors

${\displaystyle a_{j}=f_{1j}c_{1}+f_{2j}c_{2}+\cdots +f_{rj}c_{r},}$

on ${\displaystyle f_{ij}}$ són els coeficients escalars de ${\displaystyle a_{j}}$ en termes de la base ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}}$. Això implica que ${\displaystyle A=CF}$, on ${\displaystyle f_{ij}}$ és l'element ${\displaystyle (i,j)}$-sim de ${\displaystyle F}$.

rang(A) = rang (A^T)

Una conseqüència immediata de la factorització de rang és que el rang d'${\displaystyle A}$ és igual al rang de la seva transposada ${\displaystyle A^{\text{T}}}$. Com que les columnes d'${\displaystyle A}$ són les files d'${\displaystyle A^{\text{T}}}$, llavors el rang per columnes d'${\displaystyle A}$ és igual al seu rang per files.

Demostració

En aquesta demostració, direm «rang» per referir-nos al rang per columnes. Com que ${\displaystyle A=CF}$, es compleix que ${\displaystyle A^{\text{T}}=F^{\text{T}}C^{\text{T}}}$. Per definició de la multiplicació de matrius, això vol dir que tota columna d'${\displaystyle A^{\text{T}}}$ és una combinació lineal de columnes de ${\displaystyle F^{\text{T}}}$. Per tant, l'espai de columnes d'${\displaystyle A^{\text{T}}}$ està contingut en l'espai de columnes de ${\displaystyle F^{\text{T}}}$ i, en conseqüència, rang(${\displaystyle A^{\text{T}}}$) ≤ rang(${\displaystyle F^{\text{T}}}$). Ara bé, ${\displaystyle F^{\text{T}}}$ té dimensió ${\displaystyle n}$×${\displaystyle r}$, de manera que existeixen ${\displaystyle r}$ columnes de ${\displaystyle F^{\text{T}}}$ i, per tant, rang(${\displaystyle A^{\text{T}}}$) ≤ ${\displaystyle r}$ = rang(${\displaystyle A}$). Això demostra que rang(${\displaystyle A^{\text{T}})}$ ≤ rang(${\displaystyle A}$). Ara apliquem el resultat a ${\displaystyle A^{\text{T}}}$ per obtenir la desigualtat recíproca: com que ${\displaystyle (A^{\text{T}})^{\text{T}}}$ = ${\displaystyle A}$, podem escriure rang(${\displaystyle A}$) = rang(${\displaystyle (A^{\text{T}})^{\text{T}})}$ ≤ rang(${\displaystyle A^{\text{T}}}$). Això demostra que rang(${\displaystyle A)}$ ≤ rang(${\displaystyle A^{\text{T}}}$). En resum, hem demostrat que rang(${\displaystyle A^{\text{T}})}$ ≤ rang(${\displaystyle A}$) i que rang(${\displaystyle A}$) ≤ rang(${\displaystyle A^{\text{T}}}$); per tant, rang(${\displaystyle A}$) = rang(${\displaystyle A^{\text{T}}}$). (Vegeu també la primera demostració de què el rang per columnes és igual al rang per files, a l'article Rang (àlgebra lineal).)

Factorització de rang per matrius esglaonades per files

A la pràctica, podem construir una factorització de rang de la següent manera: podem calcular ${\displaystyle B}$, la forma esglaonada per files d'${\displaystyle A}$. Llavors obtenim ${\displaystyle C}$ per l'eliminació de les columnes no-pivot d'${\displaystyle A}$, i obtenim ${\displaystyle F}$ per l'eliminació de les files a 0 de ${\displaystyle B}$.

Exemple

Considerem la matriu

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}=B{\text{.}}}$

${\displaystyle B}$ està en forma esglaonada. Llavors obtenim ${\displaystyle C}$ tot eliminant la tercera columna d'${\displaystyle A}$, l'única que no és una columna pivot, i obtenim ${\displaystyle F}$ tot eliminant l'última fila de zeros; és a dir:

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\text{,}}\qquad F={\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\text{.}}}$

És senzill comprovar que

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=CF{\text{.}}}$

Demostració

Sigui ${\displaystyle P}$ una matriu de permutació de dimensió ${\displaystyle n\times n}$ tal que ${\displaystyle AP=(C,D)}$ en forma particionada per blocs, on les columnes de ${\displaystyle C}$ són les ${\displaystyle r}$ columnes pivot d'${\displaystyle A}$. Tota columna de ${\displaystyle D}$ és una combinació lineal de les columnes de ${\displaystyle C}$, de tal manera que existeix una matriu ${\displaystyle G}$ tal que ${\displaystyle D=CG}$, on les columnes de ${\displaystyle G}$ contenen els coeficients d'aquestes combinacions lineals. Per tant, ${\displaystyle AP=(C,CG)=C(I_{r},G)}$, on ${\displaystyle I_{r}}$ és la matriu identitat ${\displaystyle r\times r}$. Ara veurem que ${\displaystyle (I_{r},G)=FP}$.

La transformació de ${\displaystyle AP}$ en la seva forma esglaonada per files és equivalent a multiplicar per l'esquerra per una matriu ${\displaystyle E}$ que és producte de matrius elementals, de tal forma que ${\displaystyle EAP=BP=EC(I_{r},G)}$, on ${\displaystyle EC={\begin{pmatrix}I_{r}\\0\end{pmatrix}}}$. Ara podem escriure ${\displaystyle BP={\begin{pmatrix}I_{r}&G\\0&0\end{pmatrix}}}$, la qual cosa ens permet identificar que ${\displaystyle (I_{r},G)=FP}$, és a dir, les ${\displaystyle r}$ files no-nul·les de la forma esglaonada, amb la mateixa permutació de columnes que havíem obtingut per ${\displaystyle A}$. Així tenim que ${\displaystyle AP=CFP}$, i com que ${\displaystyle P}$ és invertible, això implica que ${\displaystyle A=CF}$, cosa que completa la demostració.

Bibliografia

• Lay, David C. Linear algebra and its applications (en anglès). 3rd ed.. Boston; Montréal: Addison-Wesley, 2003. ISBN 978-0-201-70970-4. 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. Matrix computations (en anglès). 3. ed.. Baltimore, Md. [u.a.]: Johns Hopkins Univ. Press, 1996. ISBN 978-0-8018-5414-9. 
• Stewart, Gilbert W. Matrix Algorithms I. Basic decompositions (en anglès). Philadelphia: Soc. for Industrial and Applied Mathematics, 1998. ISBN 978-0-89871-414-2.